🇫🇷 APPLICATIONS PRATIQUES DU CALCUL INTÉGRAL

7. APPLICATIONS PRATIQUES DU CALCUL INTÉGRAL

Les applications du calcul intégral sont innombrables tant en physique que dans les autres domaines scientifiques. Nous nous bornerons ici aux applications les plus classiques, celles qu'un étudiant de prépa doit connaître 😇.

7.1. Valeur moyenne d'une fonction

Le calcul de la valeur moyenne d'une fonction, comme le calcul d'une surface/air sous la courbe est une des applications les plus présente du calcul intégral.

Soit une fonction \(f(x)\) définie et continue sur l'intervalle \((a, b)\), désignons par \(m\) et \(M\) ses bornes inférieure et supérieure, on a naturellement : $$m \leq f(x) \leq M$$

Intégrons sur tout l'intervalle \((a, b)\), on écrit donc :

\[ \int_{a}^{b} m \mathrm{~d} x \leq \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \int_{a}^{b} M \mathrm{~d} x \]

soit,

\[ m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq M(b-a) \]

en divisant par \((b-a)\) qui est positif, on obtient :

\[ m \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq M \]

Comme \(f(x)\) est continue sur le segment \((a, b)\), il existe sur ce segment un nombre \(C\) tel que : $$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(C)=Y$$

\(Y\) est la "valeur moyenne» de \(f(x)\) sur l'intervalle ( \(a, b\) ). La fonction ellemème prend cette valeur au moins une fois dans l'intervalle considéré.

Dans la pratique pour trouver la valeur moyenne, on cherche quel est le rectangle de largeur \((b-a)\) et de hauteur \(Y\) dont la surface a pour valeur :

\[ \int_{a}^{b} f(x) d x \]

Les notation utiliséespour représenter la valeur moyenne de \(Y=f(x)\) sont les suivantes :

\[ \left\langle Y \right\rangle = \left\langle f(x) \right\rangle \quad \text { et/ou } \quad \overline{Y}=\overline{f(x)} \]

Exemple : calcul des valeurs efficaces d'une résistance

La puissance dépensée en chaleur dans une résitance \(R\) traversée par un rourant sinusoidal pendant la période \(T\) est :

\[ P=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} R i^{2} d t \]

Le courant continu qui dépenserait la même puissance \(P\) dans cette même résistance aurait une intensité \(I_{\text {eff }}\) telle que : $$P=R I_{\mathrm{eff}}^{2}$$

La valeur \(I_{\text {efl }}\) ainsi définie est appelée "Valeur efficace" de l'intensité du courant électrique sinusoïdal. Plus généralement on appelle valeur efficace d'une fonction périodique \(y(t)\) la quantité $$Y_{\mathrm{eff}}=\left[\frac{1}{T} \int_{0}^{T} y^{2}(t) \mathrm{d} t\right]^{(1 / 2)}$$ par exemple si \(y(t)=i(t)=I_{0} \sin \frac{2 \pi t}{T}\), on écrit : $$I_{\mathrm{eff}}^{2}=\frac{I_{0}^{2}}{T} \int_{0}^{T} \sin ^{2} \frac{2 \pi t}{T} \mathrm{~d} t=\frac{I_{0}^{2}}{2 T} \int_{0}^{T}\left[1-\cos \frac{4 \pi t}{T}\right] \mathrm{d} t$$

soit :

\[ I_{\mathrm{eff}}^{2}=\frac{I_{0}^{2}}{2 T}\left[t-\frac{T}{4 \pi} \sin \frac{4 \pi t}{T}\right]_{0}^{T}=\frac{I_{0}^{2}}{2} \]

d'où finalement :

\[ I_{\mathrm{eff}}=\frac{I_{0}}{\sqrt{2}} \]

L'étude des symétries facilite, en général, l'évaluation des valeurs moyennes. On se souviendra que des fonctions périodiques comme \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\) ont des valeurs moyennes nulles sur l'intervalle dont la largeur est égale à la période.

7.2. Calcul de surfaces

Comme énoncé dans l'introduction le calcul intégrale est très souvent utilisé dans le calcul de surface voyons cela en détail. 🤓

7.2.1. La courbe est donnée par son équation explicite, \(y=f(x)\)

La plus part du temps dans les exercices de premières années les courbes sont souvent donnée à l'aide de leurs équations explicites, c'est un cas classique. Par ailleurs, nous avons vu que la surface comprise entre la courbe, l'axe \(O x\) et les deux droites d'équations \(x=a\) et \(x=b\), est égale à :

\[ S=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \]

⚠️ Avant d'effectuer pratiquement le calcul on doit faire deux remarques, relalives à la nature de ces surfaces considérées ⚠️

Jeretiens

Il est bon de tracer la courbe représentative avant d'effectuer le calcul et de s'assurer ainsi que la surface est bien finie. Attention aux exercices de petits malin 🤡.

Exemple : Cherchons l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation : \(y=1 / x^{2}\) l'axe \(O x\) et les droites d'équations \(x=+1\) et \(x=-1\)

Sur la figure ci-contre on constate que la surface considérée n'est pas finie.

Pourtant on pourrait poser un calcul du syle :

\[ S=\int_{-1}^{+1} \frac{\mathrm{~d} x}{x^{2}}=\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{+1}=-2 \]

Mais ce calcul n'a pas de sens étant donné que ce volume n'est pas fini. Pas de panique c'est loin d'être mission impossible, on peut approcher la valeur de la surface avec d'autres techniques. 🥸

Jeretiens

Dans la relation donnant \(S\) les bornes d'intégration sont telles que \(a<b\); comme l'intégrale est la limite de $$\sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}\right) \mathrm{d} x_{i}$$ il en résulte que si \(f(x)\) est négative, chacun des termes \(f\left(x_{i}\right)\) d \(x_{i}\) est négatif et l'aire \(S\) l'est aussi.

Graphiquement cela indique que la surface dont on a calculé l'aire est située au-dessous de l'axe \(O x\).

On est ainsi conduit à introduire la notion d'aire algébrique. Cependant une surface est une grandeur physique mesurable, aussi prendra-t-on en général la valeur arithmétique, c'est-à-dire qu'on fait la somme des valeurs absolues des aires partielles. $$S=\left|S_{1}\right|+\left|S_{2}\right|+\cdots+\left|S_{n}\right|$$

Exemple : aire de l'arche de la sinusoide

On a \(S=\left|S_{1}\right|+\left|S_{2}\right|\) avec : $$\begin{aligned} S_{1} & =\int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x=[-\cos x]_{0}^{\pi} \\ & =-[-1-1]=+2 \\ S_{2} & =\int_{\pi}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~d} x=[-\cos x]_{\pi}^{2 \pi} \\ & =-[+1+1]=-2 \end{aligned}$$ soit: \(S=\left|S_{1}\right|+\left|S_{2}\right|=2+2=4\) unités d'aire.

Cela dit nous passons à une série d'exemples illustrant les diverses difficultés que l'on peut rencontrer lors du calcul des aires.

Exemple 1 : évaluation de l'aire comprise entre la parabole d'équation \(y=x^{2} / 2\) et la droite \(y=(x / 2)+1\)

La parabole et la droite se coupent en deux points dont les abscisses sont les racines de l'équation : \(x^{2} / 2=(x / 2)+1\) soit \(x^{2}+x+2=0\) c'est-à-dire \(x^{\prime}=2\) et \(x^{\prime \prime}=-1\)

On prend comme surface élémentaire d'intégration des petits rectangles de largeur \(\mathrm{d} x\) et de hauteur \(y\) :

\[ \mathrm{d} S=y \mathrm{~d} x \]

avec

\[ y=y_{\text {droite }}-y_{\text {parabole }}=(x / 2)+1-\left(x^{2} / 2\right) \]

d'où :

\[ S=\int_{-1}^{2} y \mathrm{~d} x=\int_{-1}^{2}\left(\frac{x}{2}+1-\frac{x^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x=\left[\frac{x^{2}}{4}+x-\frac{x^{3}}{6}\right]_{-1}^{2} \]

On a alors, \(S=\frac{9}{4}\) unité d'aire 📐

Exemple 2 : évaluation de l'aire comprise entre la parabole d'équation \(y^{2}=2 x\) et la droite \(x=(y / 2)+1\)

Comme dans l'exemple précédent les deux courbes se coupent en des points d'ordonnées :

\[ y_{1}=2 \quad \text { et } \quad y_{2}=-1 \]

Dans ce cas il est préférable de prendre pour surface élémentaire d'intégration des rectangles de largeur \(\mathrm{d} y\) et de longueur \(x\), soit :

\[ \mathrm{d} S=x \mathrm{~d} y \]

avec :

\[ S \int_{-1}^{2}\left(\frac{y}{2}+1-\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} y=\left[\frac{y^{2}}{4}+y-\frac{y^{3}}{6}\right]_{-1}^{2}=9 / 4 \]

La parabole et la droite sont identiques à celles de l'exemple précedent après rotation de \(\pi/2\), il est donc normal que les surfaces calculées soient les mêmes. 🥸

Jeretiens

⚠️ Le choix de la surface élémentaire d'intégration est décisif. Un choix maladroit peut conduire à des calculs bizarres. ⚠️

Dans l'exemple 2 nous aurions pu prendre pour élément de surface des petits rectangles parallèles à \(O y\) :

\[ \mathrm{d} S=y dx \]

Mais le calcul serait plus long car il faudrait partager la surface en deux parties \(S_{1}\) et \(S_{2}\) comme l'indique la figure de gauche, conduisant chacune à deux intégrales différentes. 😅

Exemple 3 : calcul de la surface du cercle de rayon \(R\) centré à l'origine

Notre Il a pour équation \(y=\sqrt{R^{2}-x^{2}}\). On prend comme élément de surface \(\mathrm{d} S\) des petits rectangles parallèles à \(O y\)

\[ \mathrm{d} S=y dx \]

Pour des raisons de symétrie évidente il suffit de calculer la surface du quart de cercle et de multiplier par 4 le résultat, on a :

\[ S=4 \int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x \]

Pour calculer cette intégrale nous effectuerons le changement de variable :

\[ x=R \sin \theta \]

d'où

$$\mathrm{d} x=R \cos \theta \mathrm{~d} \theta$$ les anciennes bornes d'intégration \((0, R)\) deviennent avec les nouvelles variables \((0, \pi / 2)\). On peut donc écrire l'intégrale tel que :

\[ S=4 \int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{R^{2}\left(1-\sin ^{2} \theta\right)} R \cos \theta \mathrm{~d} \theta=4 R^{2} \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta \]

soit :

\[ \begin{aligned} S & =2 R^{2} \int_{0}^{\pi / 2}(1+\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta=2 R^{2}\left[\int_{0}^{\pi / 2} \mathrm{~d} \theta+\int_{0}^{\pi / 2} \cos 2 \theta \mathrm{~d} \theta\right] \\ & =2 R^{2}\left[\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{0}^{\pi / 2} \end{aligned} \]

Et donc finalement \(S=\pi R^{2}\) 🤗

Exemple 4 : évaluation de la surface comprise entre les courbes \(y_{1}=\sin x\) et \(y_{2}=\cos x\) dans l'intervalle \((\pi / 4) \leq x \leq(5 \pi / 4)\)

On prend comme surface élémentaire d'intégration des petits rectangles de largeur \(\mathrm{d} x\) et de hauteur : $$y=\sin x-\cos x$$

Les deux courbes se coupent dans l'intervalle considéré en deux points dont les abscisses vérifient l'équation \(\sin x=\cos x\), soit :

\[ x_{1}=\pi / 4 \quad \text { et } \quad x_{2}=5 \pi / 4 \]

la surface cherchée est alors :

\[ S=\int_{\pi / 4}^{5 \pi / 2}(\sin x-\cos x) d x=[-\cos x-\sin x]_{\pi / 4}^{5 \pi / 4}=4 \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Nous n'allons pas poursuivre plus d'exemples dans cette section mais je pense que vous commençez à comprendre le principe. Pa

Jeretiens

Les intégrales dont le calcul conduit à l'évaluation des aires peuvent être de deux formes : $$\int_{a}^{b} y \mathrm{~d} x \quad \text { ou } \quad \int_{\alpha}^{\beta} x \mathrm{~d} y$$ suivant le choix de la surface élémentaire d'intégration \(\mathrm{d} S, \mathrm{~d} S=y \mathrm{~d} x\) ou \(\mathrm{d} S=x \mathrm{~d} y\). Nous rappelons l'importance de ce choix. Dans la pratique, il vaut mieux tracer les courbes et définir la surface à évaluer avant de commencer les calculs. 😇

L'étude préalable des symétries est aussi nécessaire car elle permet en général de réduire l'intervalle d'intégration !

⚠️ Et bien sur lorsque l'intégration nécessite un changement de variable on prendra garde à ne pas commetre d'erreur dans la définition des nouvelles bornes d'intégration. ⚠️

7.2.2. La courbe est donnée sous forme paramétrique

Propriété

Si la courbe est donnée en fonction d'un paramètre \(t\) par les équations :

\[ x=f(t) \quad \text { et } \quad y=g(t) \]

on applique encore la relation : $$S=\int_{a}^{b} y \mathrm{~d} x$$ mais ici : \(\mathrm{d} x=f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\) et les bornes d'intégration \((a, b)\) deviennent \((t=\alpha\) et \(t=\beta\) ), ainsi l'intégrale s'écrit : $$S=\int_{\alpha}^{\beta} g(t) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$$

Exemple 1 : détermination de l'aire intérieure d'une ellipse donnée sous forme paramétrique

Soit :

\[ \begin{aligned} & x=a \cos t \\ & y=b \sin t \end{aligned} \]

On prend pour surface élémentaire celle des petits rectangles de largeur \(\mathrm{d} x\) et de hauteur \(y\).

En tenant compte des symétries, on a \(\(S=4 \int_{0}^{a} y dx\)\)

Donc les bornes d'intégration deviennent :

\[ S=4 \int_{\pi / 2}^{0} b \sin t(-a \sin t) \mathrm{d} t \]

soit,

\[ S=4 a b \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{2} t \mathrm{~d} t=2 a b \int_{0}^{\pi / 2}(1-\cos 2 t) \mathrm{d} t=2 a b\left[t-\frac{\sin 2 t}{2}\right]_{0}^{\pi / 2} \]

Enfin on a donc \(S=\pi a b\) 🥹

Exemple 2 : évaluation de l'aire comprise entre l'arche de la cycloïde et l'axe \(O x\)

La cycloïde est la courbe engendrée par la valve d'une roue de bicyclette lorsque celle-ci roule sans glisser sur un sol plat. Si \(R\) est le rayon de la roue et \(M\) le point figuratif de la valve \((\widehat{A M}=|\overline{A O}|)\) on montre que la courbe décrite par \(M\) a pour équation :

\[ \begin{aligned} & x(t)=R(t-\sin t) \\ & y(t)=R(1-\cos t) \end{aligned} \]

On prend comme élément de surface

\[ dS=y dx \]

Quant aux bornes d'intégration elles sont respectivement l'origine et la longueur de la circonférence déroulée \(2 \pi R\) puisque la roue tourne sans glisser 😇

\[ S=\int_{0}^{2 \pi R} y \mathrm{~d} x \]

avec \(y=R(1-\cos t)\) et \(\mathrm{d} x=R(1-\cos t) \mathrm{d} t\); en ce qui concerne les bornes, à \(x=0\) correspond \(t=0\) et à \(x=2 \pi R\) correspond \(t=2 \pi\) on a :

\[ \begin{aligned} & S=\int_{0}^{2 \pi} R(1-\cos t) R(1-\cos t) \mathrm{d} t=R^{2} \int_{0}^{2 \pi}(1-\cos 2 t)^{2} \mathrm{~d} t \\ & S=R^{2} \int_{0}^{2 \pi}\left(1+\cos ^{2} t-2 \cos t\right) \mathrm{d} t=R^{2} \int_{0}^{2 \pi}\left(1+\frac{1+\cos 2 t}{2}-2 \cos t\right) \mathrm{d} t \end{aligned} \]

d'ou finalement :

\[ S=R^{2}\left[\frac{3 t}{2}+\frac{\sin 2 t}{4}-2 \sin t\right]_{0}^{2 \pi}=3 \pi R^{2} \]

7.2.3. La courbe est donnée sous forme polaire

La position d'un point \(M\) de la courbe est définie par la longueur \(\rho\) du rayon vecteur \(\overrightarrow{O M}\) et par l'angle orienté \(\theta=(\overrightarrow{O x}, \overrightarrow{O M})\). Le point \(O\) est appelé "pôle " et l'axe \(\overrightarrow{O x}\) "axe origine» (voir chap. \(3, \S 4.7 .2\) ), L'équation en coordonnées polaires est alors notée $$\rho=f(\theta)$$

On prend pour surface élémentaire :

\[ \begin{aligned} \mathrm{d} S & =\text { aire du triangle } O M M^{\prime} \\ & =(1 / 2) \rho^{2} \mathrm{~d} \theta \end{aligned} \]

et la surface \(S\) est calculée à l'aide de l'intégrale :

$$S=(1 / 2) \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \rho^{2} \mathrm{~d} \theta$$

Exemple 1 : calcul de l'aire intérieure limitée par un cercle de rayon \(R\) et de centre 0

L'équation polaire est tout simplement : \(\rho=R\), d'où il vient :

\[ S=4 \int_{0}^{\pi / 2}(1 / 2) R^{2} \mathrm{~d} \theta=2 R^{2} \int_{0}^{\pi / 2} \mathrm{~d} \theta=\pi R^{2} \]

Exemple 2 : surface intéricure du Lemniscate de Bernouilli

Le graphe ci-contre représente cette courbe dont l'équation polaire est : $$\rho=a \sqrt{\cos 2 \theta}$$

Elle admet deux tangentes à l'origine qui sont respectivement la première et la seconde bissectrice. Elle a 0 pour centre de symétrie.

Sa surface totale est done égale à 8 fois la surface hachuree. Pour balayer cette dernière il suffit de faire varier \(\theta\) de 0 aे \(\pi / 4\).

L'intégrale s'écrit donc : $$S=8 \int_{0}^{\pi / 4}(1 / 2) \rho^{2} \mathrm{~d} \theta$$

soit :

\[ \begin{aligned} S & =4 a^{2} \int_{0}^{\pi / 4} \cos 2 \theta \\ \mathrm{~d} \theta & =4 a^{2}\left[\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{\theta}^{\pi / 4} \end{aligned} \]

d'où finalement :

\[ S=2a^{2} \]

7.3. Évaluation de la longueur des arcs de courbes

Encore un très grand classique des exercices d'intégrale. 🥸

7.3.1. La courbe est donnée par une équation explicite, \(y=f(x)\)

On décompose la longueur \(L\) de l'arc de courbe \(AB\) en segments élémentaires de longueur \(dl\). Dans les petits triangles \(M_{i} M_{i+1} H\), on a:

\[ (\mathrm{d} l)^{2}=(\mathrm{d} x)^{2}+(\mathrm{d} y)^{2} \]

ce qui peut encore s'écrire :

\[ \begin{aligned} (\mathrm{d} l)^{2} & =(\mathrm{d} x)^{2}\left[1+\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)^{2}\right] \\ & =(\mathrm{d} x)^{2}\left[1+y^{\prime 2}\right] \end{aligned} \]

soit :

\[ \mathrm{d} l=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \]

La longueur de l'arc de courbe \(A B\) sera évaluée à l'aide de l'intégrale.

\[ L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \]

Exemple 1 : calcul du périmètre du cercle d'équation : \(y=\sqrt{R^{2}-x^{2}}\)

Ici pas vraiment besoin de schéma, on calcule \(y^{\prime}=\frac{-2 x}{2 \sqrt{R^{2}-x^{2}}}\) et \(1+y^{\prime 2}=1+\frac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}}=\frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}\), d'où l'intégrale :

\[ L=4 \int_{0}^{R} \frac{R d x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} \]

posons \(x=\sin \theta\), il vient \(\mathrm{d} x=R \cos \theta \mathrm{~d} \theta\), après avoir changé les bornes d'intégration, on obtient :

\[ L=4 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{R^{2} \cos \theta \mathrm{~d} \theta}{R \cos \theta}=4 R \int_{0}^{\pi / 2} \mathrm{~d} \theta=4 R[\theta]_{0}^{\pi / 2}=2 \pi R \]

Exemple 2 : longueur d'un arc de la courbe d'équation \(y=x^{3 / 2}\) compris entre les points d'abscisse \(x=0\) et \(x=(4 / 3)\)

On a \(y^{\prime}=(3 / 2) x^{1 / 2}\) d'où \(1+y^{\prime 2}=1+(9 / 4) x\), l'intégrale s'écrit alors :

\[ L=\int_{0}^{4 / 3} \sqrt{1+(9 / 4) x} d x \]

Pour la résoudre on pose \(1+(9 / 4) x=U\) d'où \(\mathrm{d} U=(9 / 4) \mathrm{d} x\)

\[ \begin{aligned} \int \sqrt{1+(9 / 4) x} \mathrm{~d} x & =(4 / 9) \int U^{(1 / 2)} \mathrm{d} U \\ & =(4 / 9)(2 / 3) U^{(3 / 2)}=(8 / 27)\left(1+\frac{9}{4} x\right)^{(3 / 2)} \end{aligned} \]

d'où finalement :

\[ L=(8 / 27)\left[\left(1+\frac{9}{4} x\right)^{(3 / 2)}\right]_{0}^{(4 / 3)}=(56 / 27) \text { unités de longueur } \]

Vous n'aurez pas souvent des simplifications trop complexe dans les exercices car les rédacteur s'arrangent, mais il est toujours bon d'être agile avec ses fractions. 😎

7.3.2. La courbe est donnée sous forme paramétrique

Si la courbe est donnée sous forme paramétrique \(x(t)=f(t)\) et \(y(t)=g(t)\), le calcul du segment élémentaire est immédiat.

En effet on a \(\mathrm{d} x=f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\) et \(\mathrm{d} y=g^{\prime}(t) \mathrm{d} t\), il vient donc :

\[ \mathrm{d} l=\sqrt{(\mathrm{d} x)^{2}+(\mathrm{d} y)^{2}}=\sqrt{f^{\prime 2}(t)+g^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \]

la longueur de l'arc de courbe \(A B\) est donnée par l'intégrale :

\[ L=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{f^{\prime 2}(t)+g^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \]

Exemple : longueur de l'arche de la cycloïde

Une cycloïde a pour équation \(x=R(t-\sin t)\) et \(y=R(1-\cos t\) ).

Une arche est décrite lorsque le paramètre \(t\) croit de 0 à \(2 \pi\) (ou plus généralement de \(2 k \pi\) à \((2 k+1) \pi\) avec \(k\) entier positif).

On écrit alors : \(\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}(t)=R(1-\cos t) \\ y^{\prime}(t)=R \sin t\end{array} \quad x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)=R^{2}\left[(1-\cos t)^{2}+\sin ^{2} t\right]=4 R^{2} \sin ^{2}(t / 2)\right.\)

et la longueur de l'arche est donnée par \(L=\int_{0}^{2 \pi} 2 R \sin \frac{t}{2} \mathrm{~d} t\) soit : $$L=-4 R\left\lceil\cos \frac{t}{2}\right\rceil_{0}^{2 \pi}=8 R$$

7.3.3. La courbe est donnée sous forme polaire

Comme précédemment on cherche le petit élément fifférentiel représentant la longueur \(dl\) de l'arc élémentaire, soit :

\[ (\mathrm{d} x)^{2}+(\mathrm{d} y)^{2}=(\mathrm{d} l)^{2} \]

On passe ensuite des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires :

\(x=\rho \cos \theta, \mathrm{d} x=\cos \theta \mathrm{d} \rho-\rho \sin \theta \mathrm{d} \theta\) \(y=\rho \sin \theta, \mathrm{d} y=\sin \theta \mathrm{d} \rho+\rho \cos \theta \mathrm{d} \theta\)

ce qui donne :

\[ (\mathrm{d} l)^{2}=(\mathrm{d} \rho)^{2}+(\rho \mathrm{d} \theta)^{2} \]

ou encore, on a immédiatement dans le triangle \(H M M^ {\prime}\) :

\[ {\widehat{M M^{\prime}}}^{\prime} \approx M M^{\prime}=\sqrt{M H^{2}+H M^{\prime 2}} \approx \sqrt{(\mathrm{~d} \rho)^{2}+(\rho \mathrm{d} \theta)^{2}} \]

soit :

\[ \mathrm{d} l=\sqrt{\rho^{2}+(\mathrm{d} \rho / \mathrm{d} \theta)^{2}} \mathrm{~d} \theta \]

La courbe ayant pour équation \(\rho=f(\theta)\), la longueur de l'arc de courbe \(A B\) est donné par l'intégrale : $$L=\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \sqrt{\rho^{2}+\rho^{\prime 2} \mathrm{~d} \theta}$$

Exemple 1 : périmètre du cercle d'équation \(\rho=R\)

\[ \rho^{\prime}=0 \quad \text { et } \quad L=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\rho^{2}} \mathrm{~d} \theta=R \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta=2 \pi R \]

le résultat est bien plus rapide qu'en coordonnées cartésiennes. 🤯

Exemple 2 : longueur de la cardioïde d'équation \(\rho=d(1-\cos \theta)\)

Cette courbe est construite à partir du cercle de diamètre \(d=O H\). C'est le lieu des points \(M\) tels que : $$\overline{O M}=\overline{O N}+\overline{N M}$$

avec \(\(\overline{N M}=d\)\)

d'où l'équation : \(\rho=d \cos \theta+d\).

La longueur totale de l'are de cardioïde correspond pour des raisons de symétrie à : $$L=2 \int_{0}^{\pi} \sqrt{\rho^{2}+\left(\rho^{\prime}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$$

avec :

\(\rho^{2}+\left(\rho^{\prime}\right)^{2}=\left[(1+\cos \theta)^{2}+\sin ^{2} \theta\right] d^{2}\)

soit :

\[ 2 d^{2}(1+\cos \theta)=4 d^{2} \cos ^{2}(\theta / 2) \]

donc finalement :

\[ \begin{aligned} & L=4 d \int_{0}^{\pi} \cos \frac{\theta}{2} \mathrm{~d} \theta \\ & L=4 d\left[2 \sin \frac{\theta}{2}\right]_{0}^{\pi}=8 d \end{aligned} \]

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7.4. Calcul des volumes

Le calcul des volumes nécessite en général l'emploi des intégrales triples que l'on verra plus tard pas de panique 😌.

Mais pour des corps de géométrie simple ou de révolution on peut toujours se ramener à une intégrale simple. Encore un tour de passe passe qui arrange bien nos amis de la physique. 😇

Considérons un corps \(P\) et supposons connue l'aire de toutes les sections de ce corps par un plan perpendiculaire à l'axe \(O z\). L'aire de cette section sera alors une fonction de \(z\), soit : $$S=S(z)$$

et l'élément de volume \(\mathrm{d} V\) est :

\[ \mathrm{d} V=S(z) \mathrm{d} z \]

Le volume total est alors donné par l'intégrale

\[ V=\int_{a}^{b} S(z) \mathrm{d} z \]

Exemple 1 : volume de la sphère de rayon \(R\) centré à l'origine

La sphère a pour équation \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\). Comme volume élémentaire dV de ce corps on choisit un cylindre de hauteur \(\mathrm{d} z\) et de surface \(\pi r^{2}\).

Comme cette "tranche» est parallele au plan \(x O y\), on a : $$r^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}$$

\[ V=\int_{-\pi}^{\pi} \pi r^{2} \mathrm{~d} z \]

soit

\[ \begin{aligned} V & =2 \int_{0}^{R} \pi\left(R^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} z \\ & =2 \pi\left[R^{2} z-\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{R} \\ & =2 \pi\left[R^{3}-\frac{R^{3}}{3}\right]=(4 / 3) \pi R^{3} \end{aligned} \]

Exemple 2 : volume de l'ellipsoïde de révolution

L'ellipsoïde de révolution autour de l'axe \(O z\) a pour équation :

\[ \frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \]

Là nous prendrons encore comme volume élémentaire \(\mathrm{d} V\) le cylindre de hauteur \(\mathrm{d} z\) et de surface de base \(\pi r^{2}\), avec :

\[ r^{2}=x^{2}+y^{2}=a^{2}\left[1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right] \]

et le volume total est donné par l'intégrale :

\[ V=\int_{-c}^{+c} \pi r^{2} \mathrm{~d} z=2 \int_{0}^{c} \pi a^{2}\left(1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} z=2 \pi a^{2}\left[z-\frac{z^{3}}{3 c^{2}}\right]_{0}^{c}=(4 / 3) \pi a^{2} c \]

Exemple 3 : volume du corps engendré par l'arche d'équation \(y=\sin ^{2} x\) lorsqu'elle tourne autour de l'axe \((Ox)\)

Quand l'arche \((0,\pi)\) tourne alors la surface élémentaire \(ydx\) engendre un volume élémentaire :

\[ \mathrm{d} V=\pi y^{2} \mathrm{~d} x=\pi \sin ^{4} x dx \]

Le volume totale est ainsi donné par l'intégrale suivante :

\[ V = \pi \int_{0}^{\pi} \sin ^{4} x dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{4}(1-cos2x)^2dx \]

Soit :

\[ V=\frac{\pi}{4} \int_{0}^{\pi}\left(1+\cos ^{2} 2 x-2 \cos 2 x\right) d x=\frac{\pi}{4} \int_{0}^{\pi}\left(1-2 \cos 2 x+\frac{1+\cos 4 x}{2}\right) \mathrm{d} x \]

\[ V=\frac{\pi}{4} \int_{0}^{\pi}\left(\frac{3}{2}-2 \cos 2 x+\frac{\cos 4 x}{2}\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{4}\left[\frac{3}{2} x-\sin 2 x+\frac{\sin 4 x}{8}\right]_{0}^{\pi} \]

Apres le calcul on obtient \(V=(3 / 8) \pi^{2}\) unités de volume. 🤗

Exemple 4 : volume de la pyramide régulière de hauteur \(h\) et de surface de base \(B\)

Je sais, on ne la croise pas souvent dans les exercices,mais cela reste un très bon exercice. 🥸

On prend pour élément de volume \(\mathrm{d} V\) le tronc de pyramide de surface de base \(S(z)\) et de hauteur \(\mathrm{d} z\) qu'on peut assimiler à un parallélépipède, soit :

\[ \mathrm{d} V=S(z) \mathrm{d} z \]

d'autre part on a :

\[ \frac{S(z)}{B}=\frac{z^{2}}{h^{2}} \text { d'où } \quad S(z)=\frac{z^{2}}{h^{2}} B \]

Le volume total est alors donné par l'intégrale

\[ V=\int_{0}^{h} S(z) \mathrm{d} z \]

Soit :

\[ V=\int_{0}^{h} \frac{z^{2}}{h^{2}} B \mathrm{~d} z=\frac{B}{h^{2}}\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{h}=\frac{B}{h^{2}}\left[\frac{h^{3}}{3}\right] \]

d'où après simplification :

\[ V=\frac{Bh}{3} \]

7.5. Calcul des centres de gravité

En physique, le centre de gravité ou \(CdG\), appelé \(G\), est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur.¹

Les concepts de centre de gravité (ou barycentre) et de centre de masse sont souvent confondus, mais ils ont des significations légèrement différentes selon le contexte. Le centre de masse est toujours le même, peu importe la gravité alors que le centre de gravité peut varier si le champ gravitationnel change.

Définition

Etant donné un ensemble de points matériels \(P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)\), \(P_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right), \ldots, P_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)\) de masses respectives \(m_{1}, m_{2}, m_{3}, \ldots, m_{n}\), on appelle centre de gravité de cet ensemble, le point \(G\) de coordonnées: $$X_{g}=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+m_{3} x_{3}+\cdots+m_{n} x_{n}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots+m_{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$$ $$Y_{g}=\frac{m_{1} y_{1}+m_{2} y_{2}+m_{3} y_{3}+\cdots+m_{n} y_{n}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots+m_{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{4} y_{1}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$$

Lorsqu'on passe au cas d'un corps de structure macroscopique continue on peut considérer qu'il est constitué d'une infinité de points matériels \(P_{i}\) de sorte que les sommations \(\sum_{i}\) deviennent à la limite des intégrations. Les coordonnées du centre de gravité \(G\) ont alors pour expression : $$X_{g}=\frac{\int x \mathrm{~d} m}{\int \mathrm{~d} m} \quad \text { et } \quad Y_{g}=\frac{\int y \mathrm{~d} m}{\int \mathrm{~d} m}$$

7.5.1. Centre de gravité d'un arc de courbe

Considérons un arc de courbe \(A B\) de masse linéaire \(\lambda\). L'élément infinitésimal de longueur \(\mathrm{d} l\) a une masse \(\mathrm{d} m=\lambda \mathrm{d} l\). Les intégrales qui donnent les coordonnées du centre de gravité sont: $$X_{g}=\frac{\int x \lambda \mathrm{~d} l}{\int \lambda \mathrm{~d} l} \quad \text { et } \quad Y_{g}=\frac{\int y \lambda \mathrm{~d} l}{\int \lambda \mathrm{~d} l}$$

Exemple 1 : centre de gravité d'une barre rigide

Considérons une barre rigide de longueur totale \(L\) et de masse linéaire \(\lambda=\lambda_{0} \frac{x}{L}\)

dans ce cas on a simplement \(\mathrm{d} l=\mathrm{d} x\) et l'expression donnant l'abscisse du centre de gravité est:

\[ X_{g}=\frac{\int_{0}^{L} \lambda_{0} x \frac{x}{L} \mathrm{~d} x}{\int_{0}^{L} \lambda_{0} \frac{x}{L} \mathrm{~d} x}=\frac{\int_{0}^{L} x^{2} \mathrm{~d} x}{\int_{0}^{L} x \mathrm{~d} x}=\frac{\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L}}{\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L}}=\frac{2L}{3} \]

Exemple 2 : centre de gravité d'un quart de circonférence

Soit un mince fil de masse linéaire \(\lambda=\lambda_{0}\) (ou \(\lambda_0\) est une constante) ayant la forme d'une courbe suivant un quart de cercle de rayon \(R\) et de centre 0 . On sait que le cercle a pour équation :

\[ y=\sqrt{R^{2}-x^{2}} \]

Et donc l'élément infinitésimal de longueur \(dl\) peut s'exprimer sous la forme :

\[ \mathrm{d} l=\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2} dx} \]

Pour d'évidentes raisons de symétrie le centre de gravité se trouve sur la première bissectrice et de ce fait \(X_{g}=Y_{g}\)

\[ X_{g}=\frac{\int_{0}^{R} \lambda_{0} x \mathrm{~d} l}{\int_{0}^{R} \lambda_{0} \mathrm{~d} l}=\frac{\int_{0}^{R} x \mathrm{~d} l}{\int_{0}^{R} \mathrm{~d} l}=\frac{1}{L} \int_{0}^{R} x \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \]

étant donné que :

\[ L=\frac{\pi R}{2} \]

et que :

\[ \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}=\frac{R}{y} \]

l'intégrale donnant l'abscisse de \(G\) devient :

\[\frac{1}{L} \int_{0}^{R} x \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{R}{L} \int_{0}^{R} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}=\frac{R}{2} 2\left[-\sqrt{R^{2}-x^{2}}\right]_{0}^{R} \frac{1}{L}=\frac{R^{2}}{L} \]

d'où :

\[ X_{g}=\frac{R^{2}}{L}=\frac{R^{2}}{(\pi R / 2)}=\frac{2R}{\pi} \]

On doit remarquer que le calcul de \(Y_{g}\) est bien plus rapide. On voit là l'importance de l'étude préalable des symétries. Cela fait il faut toujours réféchir avant d'engager les calculs et choisir les voies les plus courtes $$Y_{g}=\frac{1}{L} \int_{0}^{R} y \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{L} \int_{0}^{R} \frac{y R}{y} \mathrm{~d} x=\frac{1}{L} \int_{0}^{R} R \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} R$$

Nous avons ainsi vérifié que : $$X_{g}=Y_{g}=\frac{2}{\pi} R$$

Exemple 3 : centre de gravité d'un fil de masse linéaire \(\lambda_{0}\) ayant la forme d'une cardioïde

Pour des raisons de symétrie le centre de gravité \(G\) se trouve sur l'axe \(O x\), donc \(Y_{g}=0\) et $$X_{g}=\frac{\int \lambda_{0} x \mathrm{~d} l}{\int \lambda_{0} \mathrm{~d} l}=\frac{\int x \mathrm{~d} l}{L}$$

on a deja determiné plus haut que : \(L=8 a\). L'elóment de longueur étant:

\[ d t=2 a \cos \frac{\theta}{2} d \theta \]

et

\[ x=\rho \cos \theta=a(1+\cos \theta) \cos \theta \]

\(X_{g}\) est délorminé par l'expression suivante :

\[ \begin{aligned} X_{g} & =\frac{2}{8 a} \int_{0}^{\pi} a(1+\cos \theta) \cos \theta \cdot 2 a \cos \frac{\theta}{2} \mathrm{~d} \theta \\ & =\frac{2}{8 a} \int_{0}^{\pi} 2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}\left(2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}-1\right) \cdot 2 \cos \frac{\theta}{2} \mathrm{~d} \theta \end{aligned} \]

en remarquant que le dernier terme du produit est la dérivée de \(\sin \frac{\theta}{2}\), il vient :

\[ \begin{aligned} X_{g} & =\frac{2}{8 a} \int_{0}^{\pi} 2\left(1-\sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right)\left(1-2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right) 2 d\left(\sin \frac{\theta}{2}\right) \\ & =a \int_{0}^{\pi}\left(1-3 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}+2 \sin ^{4} \frac{\theta}{2}\right) d\left(\sin \frac{\theta}{2}\right) \end{aligned} \]

Enfin :

\[ 2 a\left[\sin \frac{\theta}{2}-\sin ^{3} \frac{\theta}{2}+(2 / 5) \sin ^{5} \frac{\theta}{2}\right]_{0}^{\pi}=(4 / 5) a \]

Le centre de gravité a une position de coordonnées \(X_{g}=\frac{4}{5}\) a et \(Y_{g}=0\).

7.5.2. Centre de gravité des surfaces

Soit la surface \(S(a, b)\) comprise entre l'arc de courbe \(A B\), l'axe \(O x\) et les droites d'équations \(x=a\) et \(x=b\). On se limite au cas simple où cette surface est homogène : elle a une densité superficielle \(\sigma\) constante.

On prend pour surface élémentaire un petit rectangle de largeur \(\mathrm{d} x\) et de hauteur \(y\), ayant pour masse : $$\mathrm{d} m=\sigma \mathrm{d} S=\sigma y \mathrm{~d} x$$

Le centre de gravité de cet élément de surface a pour abscisse \(x\) et pour ordonnée \(y / 2\).

Le centre de gravité \(G\) de la surface totale a pour coordonnées :

\[ \begin{gathered} X_{g}=\frac{\int_{a}^{b} x \sigma \mathrm{~d} S}{\int_{a}^{b} \sigma \mathrm{~d} S} \quad \text { et } Y_{g}=\frac{\int_{a}^{b} y \sigma \mathrm{~d} S}{\int_{a}^{b} \sigma \mathrm{~d} S} \\ X_{g}=\frac{\int_{a}^{b} x y \mathrm{~d} x}{\int_{a}^{b} y \mathrm{~d} x} \quad \text { et } \quad Y_{g}=\frac{\int_{a}^{b}(y / 2) y \mathrm{~d} x}{\int_{a}^{b} y \mathrm{~d} x} \end{gathered} \]

soit :

Exemple 1 : centre de gravité d'une plaque parabolique homogène limitée par l'arc de parabole \(y=\sqrt{x}\) et par la droite d'équation \(x=a\)

On prend pour élément de surface des petits rectangles de largeur \(d x\) et de hauteur \(y\). Les coordonnées du centre de gravité \(G\) de la plaque sont données par les expressions :

\[ X_{g}=\frac{\int_{0}^{a} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x}{\int_{0}^{a} \sqrt{x} \mathrm{~d} x} \]

et

\[ Y_{g}=\frac{\int_{0}^{a}(x / 2) d x}{\int_{a}^{b} \sqrt{x} d x} \]

calculons tout d'abord le dénominateur :

\[ \int_{0}^{a} \sqrt{x} d x=\left[(2 / 3) x^{(3 / 2)}\right]_{0}^{a}=(2 / 3) a^{(3 / 2)} \]

Pour le centre de gravité on a:

\[ \begin{aligned} X_{g} & =(3 / 2) a^{-(3 / 2)} \int_{0}^{a} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x=(3 / 2) a^{-(3 / 2)} \int_{0}^{a} x^{(3 / 2)} \mathrm{d} x \\ & =\left[\frac{3}{2} a^{-(3 / 2)} \frac{2}{5} x^{(5 / 2)}\right]_{0}^{a}=\frac{3}{5} a \\ Y_{g} & =(3 / 2) a^{-(3 / 2)} \int_{0}^{a}(x / 2) \mathrm{d} x=(3 / 4) a^{-(3 / 2)}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{a}=(3 / 8) \sqrt{a} \end{aligned} \]

\[ X_{g}=(3 / 5) a \quad \text { et } \quad Y_{g}=(3 / 8) \sqrt{a} \]

Exemple 2 : centre de gravité d'une plaque circulaire homogène de cayon \(R\) percée d'un trou rond de rayon \(r\), les centres étant distants de «d»

Par raisonnement de symétrie le centre de gravité de la la plaque non percée est en \(0_{1}\) et le centre de gravité de la partie qu'on enlève intacte est en \(0_{2}\).

La masse de la plaque intacte est :

\[ M=\pi R^{2} \sigma \]

tandis que la masse qu'on retire lorsqu'on perce le trou est \(m=\pi r^{2} \sigma\).

On convient de compter négativement cette dernière et de prendre \(0_{1}\) comme origine. Dans ces conditions le centre de gravité \(G\) de la plaque trouée est tel que :

\[ (M-m) \overrightarrow{0_{1} G}=M\left({\overrightarrow{0_{1}}}_{1}\right)-m\left({\overrightarrow{0_{1} 0_{2}}}_{2}\right)=-m\left({\overrightarrow{0_{1}}}_{2}\right) \]

d'où :

\[ \overrightarrow{0_{1} G}=\frac{-m}{M-m} \overrightarrow{0_{1} 0_{2}} \]

\(G\) est donc sur la droite qui joint les deux centres et de l'autre côté de \(0_{2}\) par rapport à \(0_{1}\) et à une distance :

\[ \begin{gathered} \overline{0_{1} G}=\frac{m}{M-m}{\overline{0_{1} 0_{2}}=\frac{\pi r^{2} \sigma d}{\pi R^{2} \sigma-\pi r^{2} \sigma}} \\ \overline{0_{1} G}=\frac{r^2}{R^2-r^2}\overline{0_{1} 0_2} \end{gathered} \]

Jeretiens

Cet exemple montre que dans de nombreux cas pratiques, il n'est même pas nécessaire de passer par les expressions classiques contenant des intégrales parfois difficiles, mais que de simples considérations géométriques suffisent pour déterminer la position du centre de gravité.

7.5.3. Centre de gravité des volumes

Pour des volumes de formes quelconques il faut faire appel aux intégrales triples (encore un outil de nos amis physiciens) ∰

Ici on va-t-on se limiter aux cas simples des corps homogènes, soit les corps de masse volumique/densité \(\rho\) constante avec une symétrie évidente.

Sur ces volumes, le centre de gravité se situe sur l'axe de réévolution et les volumes élémentaires correspondent à des tranches \(dz\) de surface \(\pi r^{2}\).

Exemple 1 : centre de gravité d'une demi-sphère homogène d'équation \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\)

Le centre de gravité \(G\) est sur l'axe \(O z\) à la cote : $$Z_{g}=\frac{\int z \mathrm{~d} V}{\int \mathrm{~d} V}=\frac{\int z \mathrm{~d} V}{\int \mathrm{~d} V}=\frac{1}{V} \int z \mathrm{~d} V$$

L'élément de volume est :

\[ \begin{aligned} \mathrm{d} V & =\pi r^{2} \mathrm{~d} z=\pi\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z \\ & =\pi\left(R^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} z \end{aligned} \]

et le volume total a pour valeur

\[ V=\int \mathrm{d} V=(4 / 3) \pi R^{3} \]

Or :

\[ \int z \mathrm{~d} V=\pi \int_{0}^{R} z\left(R^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} z=\pi\left[R^{2} \frac{z^{2}}{2}-\frac{z^{4}}{4}\right]_{0}^{R}=\left[\frac{R^{4}}{2}=\frac{R^{4}}{4}\right] \]

soit après le calcul :

\[ Z_{g}=\frac{3R}{8} \]

Exemple \(\mathbf{n}^{\circ} 2\) : centre de gravité du paraboloïde homogène et de révolution autour de \(O z\), limité par le plan d'équation \(z=b\)

Le paraboloïde a pour équation \(x^{2}+y^{2}-a z=0\) et le centre de gravité \(G\) se situe sur \(O z\) à la cote :

\[ Z_{g}=\frac{\int z \mathrm{~d} V}{\int \mathrm{~d} V}=\frac{1}{V} \int z \mathrm{~d} V \]

Le volume élémentaire est \(\mathrm{d} V=\pi r^{2} \mathrm{~d} z=\pi\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z=\pi a z \mathrm{~d} z\)

et le volume total a pour valeur :

\[ \begin{aligned} V & =\int_{0}^{b} \mathrm{~d} V=\pi a \int_{0}^{b} z \mathrm{~d} z \\ & =\pi a\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{b}=\frac{\pi a b^{2}}{2} \end{aligned} \]

et :

\[ \int z \mathrm{~d} V=\int_{0}^{b} \pi a z^{2} \mathrm{~d} z=\pi a \int_{0}^{b} z^{2} \mathrm{~d} z=\pi a\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{b}=\pi a \frac{b^{3}}{3} \]

et donc finalement : \(Z_g=\frac{2b}{3}\)

Exemple 3: centre de gravité d'un corps de densité constante constitué d'uue demi-sphère de rayon \(R\) surmontée d'un cône de hauteur \(h\) et de rayon de base \(R/2\)

Soient \(M_{c}\) et \(M_{s}\) les masses respec- tives du cône et de la demi-sphère et \(G_{c}\) et \(G_{B}\) leurs centres de gravité respectifs.

L'ensemble est de révolution autour de l'axe \(O z\), le centre de gravité \(G\) est sur cet axe à la cote \(Z_{g}=\overline{O G}\) telle que :

\[ \begin{gathered} \overrightarrow{O G}=\frac{M_{s} \overrightarrow{O G}_{s}+M_{c} \overrightarrow{O G}_{c}}{M_{s}+M_{c}} \\ M_{s}=\rho(2 / 3) \pi R^{3} \end{gathered} \]

et

\[ M_{c}=\rho(1 / 12) \pi R^{2} h \]

d'où :

\[ M_{s}+M_{c}=\rho(1 / 12) \pi R^{2}(8 R+h) \]

D'après un calcul précédent : \(\overline{O G}_{s}=(5 / 8) R\).

Il nous reste donc à calculer \(O G_{c}\), c'est-à-dire la cote \(Z_{g c}\) du centre de gravité du cône de révolution. On a :

\[ Z_{g c}=\frac{\int z \mathrm{~d} V}{\int \mathrm{~d} V}=\frac{1}{V} \int z \mathrm{~d} V \]

avec

\[ \mathrm{d} V=\pi r^{2} \mathrm{~d} z \]

et

\[ r=\frac{R}{2 h} z \]

Evaluons maintenant l'intégrale :

\[ \int z \mathrm{~d} V \]

il vient :

\[ \begin{aligned} \pi \frac{R^{2}}{4 h^{2}} \int_{0}^{h} z^{3} \mathrm{~d} z & =\frac{\pi R^{2}}{4 h^{2}}\left[\frac{z^{4}}{4}\right]_{0}^{h} \\ & =\frac{\pi R^{2}}{16} h^{2} \end{aligned} \]

d'oì:

\[ Z_{g c}=\frac{\pi\left(R^{2} / 16\right) h^{2}}{\pi\left(R^{2} / 12\right) h}=(3 / 4) h \quad \text { cas } \quad V=\frac{1}{12} \pi R^{2} h \]

Dans ces conditions

\[ {\overline{O G_{c}}}_{c} = \overline{O^{\prime} O}-Z_{g c}=(R+h)-(3 / 4) h=R+\frac{h}{4} \]

et :

\[ O G=\frac{(5 / 8) R M_{s}+\left(R+\frac{1}{4} h\right) M_{c}}{M_{s}+M_{c}}=\frac{5 R^{2}+R h+(1 / 4) h^{2}}{8 R+h} \]

Dans le cas particulier où \(h=2 R\) il vient \(O G=(4 / 5) R\).

Jeretiens

Cet exemple montre qu'il n'est pas obligatoirement nécessaire de passer par les relations classiques et qu'une décomposition du corps homogène en parties de géométrie simple permet parfois de résoudre simplement un problème.

---

7.6. Moment d'inertie

Les moments d'inertie sont étroitement liés aux concepts de centre de masse et de centre de gravité, car ils décrivent comment la masse est distribuée autour d'un axe de rotation.²

7.6.1. Moment d'inertie par rapport à un axe

Par définition le moment d'inertie par rapport à un axe \(\Delta\) d'un point matériel de masse \(m\) et situé à une distance \(r\) de l'axe, est :

\[ I_{\Delta}=m r^{2} \]

Pour un système de \(N\) points matériels de masses \(m_{i}\) distants de \(r_{i}\) de l'axe \(\Delta\) le moment d'inertie par rapport à cet axe est :

\[ I_{\Delta}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} r_{i}^{2} \]

Lorsqu'on considère un corps solide on peut admettre qu'il est constitué d'une infinité de points matériels de masse \(\mathrm{d} m\). Cette hypothèse de continuité physique permet d'écrire :

\[ I_{\Delta}=\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{N} m_{i} r_{i}^{2}=\int r^{2} \mathrm{~d} m \]

Exemple 1 : moment d'inertie d'une circonférence homogène de densité linaire \(\lambda\) et de rayon \(R\) par rapport à un de ses diamètres

La masse élémentaire est \(\mathrm{d} m=\lambda \mathrm{d} l=\lambda R \mathrm{~d} \theta\) et la distance de \(\mathrm{d} m\) ant diamètre considéré est :

\[ r=R \sin \theta \]

L'intégrale donnant le moment d'inertie s'écrit :

\[ \begin{aligned} & \begin{array}{l} I_{D}=\int r^{2} \mathrm{~d} m=\int_{0}^{2 \pi} \lambda R^{2} \sin ^{2} \theta \cdot R \mathrm{~d} \theta \\ =\lambda R^{3} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta \\ =\lambda R^{3} \int_{0}^{2 \pi}(1 / 2)(1-\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta \\ \end{array} \end{aligned} \]

Soit :

\[ (1 / 2) R^{3}[\theta-(1 / 4) \sin 2 \theta]_{0}^{2 \pi}=2 \pi \lambda \frac{R^{3}}{2} \]

Mais la masse totale du fil de densité linéaire \(\lambda\) et de longueur \(2 \pi R\) est $$M=2 \pi \lambda R \quad \text { d'où } \quad I_{D}=M \frac{R^{2}}{2}$$

Exemple 2 : moment d'inertie d'un disque homogène de densité superficielle \(\sigma\) par rapport à un axe \(\Delta\) normal passant par son centre

Il faut choisir l'élément \(\mathrm{d} m\) de telle façon que tous ses points se trouvent à une même distance \(r\) de \(\Delta\).

On a donc :

\[ \mathrm{d} I_{\Delta}=r^{2} \mathrm{~d} m=\sigma r^{2} \mathrm{~d} S=\sigma r^{2}(2 \pi r \mathrm{~d} r) \]

soit :

\[ \mathrm{d} I_{\Delta}=2 \pi \sigma r^{3} \mathrm{~d} r \]

Le moment d'inertie par rapport à \(\Delta\) s'évalue alors à l'aide de l'intégrale :

\[ \begin{aligned} I_{\Delta} & =\int \mathrm{d} I_{\Delta}=2 \pi \int_{0}^{R} \sigma r^{3} \mathrm{~d} r \\ & =2 \pi \sigma \frac{R^{4}}{4}=(1 / 2) \pi \sigma R^{4} \end{aligned} \]

Introduisons la masse totale \(M\) du disque, c'est-à-dire \(M=\sigma \pi R^{2}\), il vient :

\[ I_{\Delta}=(1 / 2) M R^{2} \]

Exemple 3 : moment d'inertie d'un cylindre homogène de densité volumique \(\rho\) de hauteur \(h\) et de rayon de base \(R\) par rapport à son axe

On choisit pour masse élémentaire la masse d'un tube d'axe \(\Delta\), de rayon \(r\), de hauteur \(h\) et d'épaisseur \(\mathrm{d} r\), d'où :

\[ \mathrm{d} m=\rho \mathrm{d} V=\rho(2 \pi r \mathrm{~d} r h) \]

et :

\[ I_{\Delta}=\int r^{2} \mathrm{~d} m=2 \pi h \int_{0}^{R} \rho r^{3} \mathrm{~d} r \]

soit :

\[ I_{\Delta}=2 \pi \rho h \frac{R^{4}}{4}=\pi \rho h \frac{R^{4}}{2} \]

or la masse totale du cylindre est

\[ M=\pi \rho h R^{2} \]

et donc enfin :

\[ I_{\Delta}=(1 / 2) M R^{2} \]

7.6.2. Théorème d'Huyghens

Théorème

Le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe quelconque \(\Delta\) est égal au moment d'inertie de ce corps par rapport à un axe parallèle à \(\Delta\) passant par son centre de gravité augmenté de la quantité $$M d^{2}$$

où \(M\) est la masse du corps et «d» la distance des deux axes.

\[ I_{\Delta}=I_{G}+M d^{2} \]

Ainsi le moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à une de ses génératrices est

\[ I=M \frac{R^{2}}{2}+M R^{2}=(3 / 2) M R^{2} \]

7.6.3. Moment d'inertie par rapport à un point

Théorème

Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un point est égal à la demi somme de ses moments d'inertie par rapport à 3 axes perpendiculaires passant par ce point.

\[ \begin{gathered} I_{i 0}=m_{i}\left|\overrightarrow{O M}_{i}\right|^{2} \\ I_{i 0}=m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right) \end{gathered} \]

Or les moments d'inertie par rapport aux axes \(Ox\), \(Oy\) et \(Oz\) sont :

\[ \begin{aligned} & I_{i 0 x}=m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right) \\ & I_{i 0 y}=m_{i}\left(z_{i}^{2}+x_{i}^{2}\right) \\ & I_{i 0 z}=m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right) \end{aligned} \]

Le moment d'inertie du point \(M_{i}\) de masse \(m_{i}\) par rapport au point \(0\) est donc :

\[ I_{i 0}=\frac{I_{i 0 x}+I_{i 0 y}+I_{i 0 z}}{2}) \]

Cette relation, comme dans le cas précédent, s'étend aux ensembles de \(N\) points \(M_{i}\) et aux corps solides.

\[ I_{0}=(1 / 2)\left(I_{0 x}+I_{0 y}+I_{0 z}\right) \]

Exemple : moment d'inertie d'une sphère homogène de densité volumique \(\rho\) par rapport à son centre

On prend comme masse élémentaire la masse d'une pellicule sphérique centrée en \(0\) , de rayon \(r\) et d'épaisseur \(\mathrm{d}r\), la masse s'écrit donc :

\[ \mathrm{d} m=\rho \mathrm{d} V=4 \pi \rho r^{2} \mathrm{~d} r \]

et :

\[ \begin{aligned} I_{0} & =\int r^{2} \mathrm{~d} m=4 \pi \int_{0}^{R} \rho r^{4} \mathrm{~d} r \\ & =4 \pi \rho\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{R}=4 \pi \rho \frac{R^{5}}{5} \end{aligned} \]

mais la masse \(M\) de la sphère est \((4 / 3) \pi R^{3}\), d'où :

\[ I_{0}=\frac{3MR^2}{5} \]

7.7. Autres ppplications des intégrales

section*{Le calcul intégral a d'innombrables applications en Physique, Chimie, Biolo-} gie, Economie,... etc. En physique il est d'une grande utilité, car les grandeurs physiques comme les forces, les vitesses, les énergies potentielles et cinétiques, le travail, etc., peuvent être représentées par des intégrales. Nous allons en donner quelques exemples.

Exemple 1 : calcul de la force qui s'exerce sur la paroi verticale d'un barrage de hauteur \(h\) et de largeur \(L\)

Considérons un elément de surface dS de la paroi constitué par un rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(\mathrm{d} x\). La position de cet élément est donnée par l'ordonnée \(x\) repérée comme l'indique la figure ci-contre. Si \(\rho\) est la masse spécifique de l'eau et \(g\) l'accélération de la pesanteur, la pression qu'exerce l'eau sur l'élément de surface \(\mathrm{d} S\) est :

\[ p=\mathrm{d} f / \mathrm{d} S=\rho g x \]

d'où :

\[ \mathrm{d} f=p \mathrm{~d} S=\rho g x \mathrm{~d} S=\rho g x L \mathrm{~d} x \]

si \(h\) est la hauteur d'eau, il vient :

\[ f=\int \mathrm{d} f=\int_{0}^{h} \rho g L x \mathrm{~d} x=\rho g L \int_{0}^{h} x \mathrm{~d} x=\rho g L\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{h}=\rho g L \frac{h^{2}}{2} \]

mais \(L h=S\), surface totale du barrage, tandis que \(\rho g h=P\) est la pression de l'eau au bas du barrage, ainsi :

\[ f=\frac{PS}{2} \]

Exemple 2 : calcul du travail nécessaire pour vider l'eau d'un puits ayant la forme d'un cône de hauteur \(h\) et de rayon de base \(R\)

Le travail élémentaire \(\mathrm{d} W\) nécessaire pour amener une couche d'eau d'épaisseur \(dx\) à l'exterieur du puits en agissant contre la gravité est : \(dw=df.x\) avec \(df=dm\) et \(\(dm=\rho \pi r^2 dx\)\)

Dans le triangle \(OAO'\) on a :

\[ \frac{r}{R}=\frac{h-x}{h} \]

d'où:

\[ \mathrm{d} m=\rho \pi\left(R^{2} / h^{2}\right)(h-x)^{2} \mathrm{~d} x \]

et

\[ \mathrm{d} W=\rho \pi g\left(R^{2} / h^{2}\right)(h-x)^{2} x \mathrm{~d} x \]

Le travail total va s'exprimer à l'aide de l'intégrale :

\[ \begin{aligned} W & =\int \mathrm{d} W=g \pi \rho \int_{0}^{h}\left(R^{2} / h^{2}\right)(h-x)^{2} x \mathrm{~d} x \\ & =\pi \rho g\left(R^{2} / h^{2}\right) \int_{0}^{h}\left(h^{2} x+x^{3}-2 h x^{2}\right) \mathrm{d} x \end{aligned} \]

et donc :

\[ W=\pi \rho g\left(R^{2} / h^{2}\right)\left[(1 / 2) h^{2} x^{2}+(1 / 4) x^{4}-(2 / 3) h x^{3}\right]_{0}^{h}=(1 / 12) \pi \rho g R^{2} / h^{2} \]

Or la masse totale d'eau contenue dans le puits est \(M=\rho V=\rho \pi(1 / 3) R^{2}\) d'où :

\[ W=M g \frac{h}{4} \]

on a calculé précédemment que le centre de gravité \(G_{c}\) d'un tel cône se situe à une distance \(\frac{h}{4}\) du plan de base. Le travail \(W\) est donc le même que si l'on suppose que la masse \(M\) est concentrée au centre de gravité du puits.

Exemple 3 : calcul du travail de compression d'un gaz parfait}

Nous allons maintenant calculer le travail nécessaire à la compression d'un gaz obéissant aux lois des gaz parfaits.

Un exercice classique de chimie

Cette compression peut s'effectuer de deux manières différentes qui correspondent à des circonstances physiques différentes.

Compression isotherme

Une compression est dite «isotherme» si elle s'effectue sans que la température du gaz varie. Ainsi \(T=\) Cte entraîne que la loi des gaz parfaits s'écrit :

\[ P V=R T=\mathrm{Cte}=C \]

\(R\) étant la constante des Gaz parfaits, \(P\) la pression et \(V\) le volume offert au gaz.

Considérons un cylindre contenant le gaz à comprimer à l'aide du piston de surface \(S\). Lorsqu'on pousse le piston d'une distance \(\mathrm{d} x\) le travail effectué est :

\[ \mathrm{d} W=F \mathrm{~d} x=P S \mathrm{~d} x \]

or

\[ S \mathrm{~d} x=\mathrm{d} V \]

d'où :

\[ \mathrm{d} W=PdV=(C / V) \mathrm{d}V \]

Si \(V_{1}\) et \(V_{2}\) sont respectivement les volumes offerts au gaz avant et après la compression, on a :

\[ W=\int \mathrm{d} W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{C}{V}\mathrm{d} V=C \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{\mathrm{~d} V}{V}=C \ln \left|\frac{V_{2}}{V_{1}}\right| \]

Pour réaliser pratiquement cette transformation isotherme, c'est-à-dire à température constante, il faut que le travail effectué ne se transforme pas en chaleur, donc que la transformation soit très très lente.

Compression adiabatique

Une transformation est dite «adiabatique» s'il n'y a pas d'échange de chaleur avec l'extérieur. Dans ce cas la loi des gaz parfaits s'écrit :

\[ P V^{\gamma}=\mathrm{Cte}=C^{\prime} \]

et le travail élémentaire effectué pour comprimer le gaz devient :

\[ \mathrm{d} W=P S \mathrm{~d} x=P \mathrm{~d} V=\left(C^{\prime} / V^{\gamma}\right) \mathrm{d} V \]

le travail total pour amener le gaz du volume initial \(V_{1}\) au volume final \(V_{2}\) s'exprime à l'aide de l'intégrale :

\[ W=\int \mathrm{d} W=C^{\prime} \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{\mathrm{~d} V}{V^{\gamma}}=C^{\prime}\left[\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{V_{1}}^{V_{2}}=\frac{1}{1-\gamma}\left[C^{\prime} V_{2}^{1-\gamma}-C^{\prime} V_{1}^{1-\gamma}\right] \]

mais si \(C^{\prime} V^{-\gamma}=P\), on doit avoir \(C^{\prime} V^{1-\gamma}=P V\), d'où finalement :

\[ W=\frac{1}{1-\gamma}\left[P_{2} V_{2}-P_{1} V_{1}\right] \]

Jeretiens

On constate que le travail nécessaire à la variation de volume \(V_{2}-V_{1}\) n'est pas le même suivant que la compression qui amène de \(V_{1}\) à \(V_{2}\) est isotherme ou adiabatique.

Exemple 4 : calcul du potentiel électrique créé par un disque uniformément chargé

Soit \(R\) le rayon du disque et \(\sigma\) sa densité superficielle de charge. Cherchons le potentiel créé en un point \(M\) de l'axe normal passant par le centre 0 du cercle.

On sait que le potentiel créé par une charge \(q\) en un point situé à la distance \(\rho\) s'écrit :

\[ V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}(g / \rho) \]

Dans le cas d'un disque électrisé on choisit une charge élémentaire \(dq\) répartie sur une surface élémentaire \(\mathrm{d} S\) ayant la forme d'une couronne centrée en \(0\), comprise entre les cercles de rayons \(r\) et \(r+\mathrm{d} r\).

Dans ces conditions :

\[ \mathrm{d} S=2 \pi r \mathrm{~d} r \]

et

\[ \mathrm{d} q=\sigma \mathrm{d} S=2 \pi \sigma r \mathrm{~d} r \]

Le potentiel élémentaire \(\mathrm{d} V\) créé par la charge annulaire \(\mathrm{d} q\) au point \(M\) distant de \(d\) du centre du disque est :

\[ \mathrm{d} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathrm{~d} q}{\rho}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 \pi \sigma r \mathrm{~d} r}{\rho}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 \pi \sigma r \mathrm{~d} r}{\sqrt{d^{2}+r^{2}}} \]

car \(\rho^{2}=d^{2}+r^{2}\).

Pour obtenir le potentiel \(V\) au point \(M\) il faut intégrer \(\mathrm{d} V\) pour tous les éléments de charge \(\mathrm{d} q\), soit :

\[ \begin{gathered} V=\frac{\sigma}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{0}^{R} \frac{2 \pi r \mathrm{~d} r}{\sqrt{d^{2}+r^{2}}}=\frac{\sigma}{4 \varepsilon_{0}}\left[2 \sqrt{d^{2}+r^{2}}\right]_{0}^{R} \\ V=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}\left[\sqrt{d^{2}+R^{2}}-d\right] \end{gathered} \]

pour \(d=0\) on obtient la valeur du potentiel au centre du disque, soit :

\[ V_{0}=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} R \]

J'espère qu'après ces exemples le concept d'intégration vous semple plus claire.

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1. Page wikipedia du centre de gravité : https://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_de_gravité ↩

2. Page de wikipedia du moment d'inertie : https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27inertie ↩