🇫🇷 FONCTION LOGARITHMIQUE ET FONCTION EXPONENTIELLE

5. FONCTION LOGARITHMIQUE ET FONCTION EXPONENTIELLE

Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont omniprésentes en science car elles fournissent des outils puissants pour décrire et analyser une grande variété de phénomènes naturels et artificiels. Leur capacité à modéliser des processus de croissance, de décroissance, et des relations non linéaires en fait des éléments indispensables dans la boîte à outils des scientifiques et des ingénieurs.

5.1. Fonction logarithmique

Durant les chapitres précédent, nous avons souvent utilisé la fonction \(y=\ln(x)\) sans l'avoir définie au préalable. Voyons maintenant sa définition et ses propriétés 😅

Définition

Pour un entier \(n\), la fonction \(y=x^{n}\) a pour primitive \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) à condition que \(n \neq-1\). Pour \(n=-1\) cela n'est plus valable, la primitive de \(1 / x\) n'est pas une fonction rationnelle. On pose pour \(x>0\) : $$\ln x=\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{t}$$

On définit ainsi la fonction logarithme qui est continue et croissante, positive pour \(x>1\), négative pour \(x<1\), elle s'annule pour \(x=1\). Son allure générale est donnée par le graphe ci-dessus.

La fonction ainsi définie est appelée "logarithme népérien" de \(x\). Toute fonction de la forme \(f(x)=k \ln x\) est encore appelée fonction logarithmique. Elle a les propriétés suivantes :

\[ \begin{array}{ll} x \rightarrow \infty, & \ln x \rightarrow+\infty \\ x \rightarrow 0, & \ln x \rightarrow-\infty \end{array} \]

Le nombre \(x_{0}\) tel que \(f\left(x_{0}\right)=1\) est la "base du système de logarithme"; d'une manière générale : $$\ln x_{0}=1 / k$$

Pour les logarithmes népériens la base est le nombre \(e\) défini par : $$\ln e=1$$

Elle a pour valeur \(e=2,71828 \ldots\) Lorsque la base choisie est \(x_{0}=10\), la fonction logarithmique correspondante définit les logarithmes décimaux, souvent utilisés dans la pratique des calculs numériques, ils sont notés \(log\) (sans majuscule).

Toute fonction logarithmique vérifie la relation fondamentale :

\[ F(a b)=F(a)+F(b) \]

En particulier on retient les relation suivantes :

Définition

\[\begin{array}{lll} ln (a . b)=\ln(a)+\ln(b) \\ ln(a^{n}) =n \ln(a) \\ ln (1 / a)=-\ln(a) \\ ln (a/b)= ln(a) - ln(b) \end{array} \]

Exemple : étude de la fonction \(y=x \ln x\)

Comme \(\ln x\) cette fonction est définie pour \(x\) positif. Lorsque \(x\) tend vers zéro par valeurs positives, la fonction prend une forme indéterminée tel que :

\[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x \ln x)=0 \cdot(-\infty) \]

Pour lever cette indétermination posons \(x=1 / X\); si \(x\) tend vers zéro par valeurs positives, \(X\) tend vers plus l'infini, et donc :

\[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x \ln x)=\lim _{X \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{X} \ln \frac{1}{X}\right)=\lim _{X \rightarrow+\infty} \frac{1}{X}(\ln 1-\ln X) \]

Et donc :

\[ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-\frac{\ln X}{X}\right)=0^{-} \]

La fonction tend vers zéro par valeurs négatives (c-a-d la fonction approche 0 par le coté négatif du graphe). Le point origine 0 est donc appelé un "point limite".

Si \(x\) tend vers plus l'infini, on a immédiatement:

\[ \lim _{x \rightarrow+\infty}(x \ln x)=+\infty \]

Lorsque \(x\) tend vers l'infini le rapport \(y / x\) tend également vers l'infini ; la courbe admet donc une direction asymptotique parallèle à \(O y\) $$\lim _{x \rightarrow+\infty}(y / x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln x=+\infty$$

On calcul ensuite la dérivée afin de dresser le tableau de variations et la courbe représentative.

La dérivée de la fonction se calcul assez simplement, elle est tel que : $y^{prime}=1+ln x $

On a alors :

\[ \begin{array}{lllll} & y^{\prime}=0 & \text { si } & 1+\ln x=0, \text { donc } & x=1 / e \\ & y^{\prime}>0 & \text { si } & 1+\ln x>0, \text { donc }& x>1 / e \end{array} \]

On peut donc en déduire le tableau de variation et la courbe suivante :

Tableau de variation	Courbe représentative

5.2. LA FONCTION EXPONENTIELLE

Définition

La fonction logarithme \(y=\ln x\) est une fonction continue et monotone sur tout son intervalle de définition. Elle admet donc une fonction inverse qu'on appelle "Fonction exponentielle" et qu'un note \(e^{y}\) ou encore \(\exp y\) comme vous avew pu le voir sur le graphique en début de chapitre.

\[ y=e^{x}=\exp(x) \quad \text { ou } \quad x=\ln y \quad \text { avec } \quad e=2,718 \ldots \]

Comme la fonction ln \(y\) n'est définie que pour \(y>0\) il s'en suit que la fonction exponentielle \(e^{x}\) est toujours positive. Comme \(\ln y\), elle est continue et croissante.

Le graphique en début de chapitre illustre ses variations (les courbes \(e^{x}\) et \(\ln x\) sont symétriques par rapport à la première bissectrice \(y=x\) puisque les fonctions sont inverses l'une de l'autre).

On peut donc observer les propriétés suivantes :

Propriété

\[ \begin{array}{ll} \text { Pour } x=1 & e^{x}=e^{1}=e \\ \text { Pour } x=0 & e^{0}=1 \\ \text { Lorsque } x \rightarrow+\infty, & e^{x} \rightarrow+\infty \\ \text { Lorsque } x \rightarrow-\infty, & e^{x} \rightarrow 0 \end{array} \]

La fonction \(e^{x}\) admet pour dérivée l'inverse de la dérivée de la fonction logaritme. Si \(x=\ln y\) $$(\mathrm{d} x / \mathrm{d} y)=1 / y$$ d'où : $$(\mathrm{d} y / \mathrm{d} x)=y=e^{x}$$

La fonction exponentielle est donc sa propre dérivée 🤓.

Comme vous l'avez sans doute compris, cela signifie que si vous dérivez \(e^x\), vous obtenez à nouveau \(e^x\). Cette propriété est extrêmement utile, notamment pour résoudre des équations différentielles, qui impliquent une fonction et ses dérivées 👩‍🍳. C'est aussi la dérivée la plus simple à retenir !

\[ y=y^{\prime}=y^{\prime \prime}=\cdots y^{(n)}=e^{x} \]

C'est par ailleurs une des propriétés essentielles de cette fonction. Et donc toute propriété physique invariante par dérivation sera représentable par une exponentielle. Ce qui arrange bien nos amis physiciens !

Définition

Une autre propriété importante est que : \(\(e^{a} e^{b}=e^{a+b}\)\)

Plus généralement on définit la fonction \(y=a^{x}\) par la propriété suivante : $$a^{x}=y \quad => \quad \ln y=x \ln a$$ \(y=a^{x}\) est en fait la fonction inverse d'un logarithme non népérien tandis à l'autre en remarquant que : $$a^{x}=e^{x \ln a}$$

On peut maintenant établir la relation qui existe entre les logarithmes décimaux et népériens (aussi appelé naturels) d'un même nombre \(x\). Soit \(y=\log x\), cette relation est équivalente à :

\[ x=10^{y} \]

Prenons maintenant le logarithme de base \(e\) (le fameux népérien, souvent le plus utilisé en physique) des deux membres de cette dernière relation : il vient alors :

\[\ln x=y \ln 10\]

d'où :

\[ y=\frac{1}{\ln 10} \ln x=\log x=M \ln x \]

Le facteur \(M=0,434294 \ldots\) qui est indépendant de \(x\) s'appelle le "module de transition" des logarithmes népériens aux logarithmes décimaux.

Inversement on a :

\[ \ln x=2,3 \log x \quad=\ln 10 \log x \]

Cette relation peut s'écrire :

\[ \ln x=\log _{e} x=\log _{e} 10 \log _{10} x \]

Propriété

En généralisant à deux bases quelconques \(a\) et \(b\), on obtient la formule de changement de base :

\[ \log _{a}(x)=\log _{a}(b) \log _{b}(x) \]

Exemple 1 : étude de la fonction \(y=(x-1) e^{x}\)

Cette fonction est définie pour toutes les valeurs de \(x\). Elle admet pour limites :

\[ \begin{gathered} \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty}(x-1) e^{x}=+\infty \\ \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty}(x-1) e^{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} x e^{x}=0^{-} \end{gathered} \]

La fonction tend vers zéro par valeurs négatives, on en déduit que \(O x\) est une asymptote horizontale.

La courbe représentative est au-dessus de son asymptote si \(x>1\), elle est au-dessous si \(x<1\).

Toujours le meme reflexe : le calcul de la dérivée première ici donne :

\[ y^{\prime}=e^{x}+(x-1) e^{x}=x e^{x} \]

On note aussi que la courbe admet une tangente horizontale pour \(x=0\).

On peut donc ensuite dresser le tableau de variation ci-dessous :

Tableau de variation	Courbe représentative

Afin d'étudier la nature du point ou la dérivée s'annule, toujours la même méthode : calcul de la dérivée seconde :

\[y^{\prime \prime}=(x+1) e^{x}\]

On note qu'elle change de signe pour \(x=-1\), le point de coordormées \((-1,-2 /e)\) est donc un point d'inflection.

Exemple 2 : fonction puissance \(y=x^{s}\)

La fonction puissance \(y=x^{s}\) peut encore s'écrire \(y=e^{s \ln x}\). Commençons par tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction pour les différentes valeurs de \(s\).

On peut remarquer que les courbes correspondant aux exposants \(s\) et \(1 / s\) sont symétriques par rapport à la première bíssectrice, car $$y=x^{s} \Leftrightarrow y^{1 / s}=\left(x^{s}\right)^{1 / s}=x$$

5.3. APPLICATIONS DES FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES

Outre les facilités qu'offrent les logarithmes dans les calculs numériques ces deux fonctions fournissent des modèles pour de nombreux phénomènes physiques.

En particulier la fonction exponentielle intervient dans la fameuse Fonction de Gauss¹, incontournable en statistique et probabilités.

Elle apparaît également dans l'étude de l'amortissement des phénomènes vibratoires, en radiotechnique et dans la physique nucléaire.

Elle est essentielle également dans la représentation des phénomènes de diffusion des ondes électromagnétiques et dans l'étude de la structure de la matière. Son invariance par dérivation et par autoconvolution en font l'un des seuls moyens (avec la fonction de Dirac) que nous ayons pour situer analytiquement un objet dans l'espace.

5.3.1. Loi de distribution de Gauss

Définition

La loi normale ou loi de distribution de Gauss se rencontre lorsqu'on étudie la loi de probabilité d'une variable aléatoire dont les valeurs sont continues. Elle s'écrit tel que : $$y=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left[-\frac{(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2}}{2 \sigma^{2}}\right]$$

La courbe représentative ci-dessous est symétrique par rapport à la droite \(x=a\) et présente des points d'inflexion pour :

\[ x=a+\sigma \quad \text { et } \quad x=a-\sigma \]

\(a\) est la moyenne de la distribution des valeurs de \(x\) et \(\sigma\) est l'écart-type de la variable \(x\).

La probabilité \(P(x)\) pour que la variable aléatoire continue \(x\) prenne une valeur comprise entre \(\alpha\) et \(\beta\) est donnée par l'aire de la surface comprise entre la courbe, l'axe des \(x\) et les droites d'équations \(x=\alpha\) et \(x=\beta\), soit :

\[ P(x)=\int_{\alpha}^{\beta} y(x) \mathrm{d} x \]

On appelle alors \(y(x)\) la densité de probabilité² pour une loi gaussienne.

Quelques mots sur la loi normale

La loi normale modélise de nombreux phénomènes naturels et sociaux où les valeurs tendent à se regrouper autour d'une moyenne, avec des écarts symétriques et décroissants à mesure qu'on s'éloigne de cette moyenne.

Elle est l'une des lois de probabilité les plus fascinantes en statistiques et en sciences car elle nous permet de comprendre et de modéliser des phénomènes complexes, de l'infiniment petit (comme le mouvement des particules) à l'infiniment grand (comme la distribution des galaxies).🥸

Elle joue un rôle central dans notre capacité à analyser et à prédire le monde qui nous entoure. C'est pourquoi elle est souvent considérée comme la "loi des lois" en probabilités et en statistiques.

5.3.2. Amortissement et durée de vie

Lorsqu'une exponentielle apparaît sous la forme \(e^{-k x}\) où \(k\) est une constante positive, elle est constamment décroissante sur l'intervalle \(x\) positif ou nul.

La fonction exponentielle est ainsi utilisée pour décrire l'amortissement d'une grandeur physique au cours du temps. Par exemple le mouvement amorti d'un oscillateur harmonique mécanique est représenté par l'équation :

\[ y=\mathrm{e}^{-k t} \cos (\omega t+\varphi) \]

Le terme exponentiel introduit la décroissance continue de l'amplitude du mouvement sous l'effet des frottements visqueux.

En général on pose \(k=1 / \tau\) où \(\tau\) est la constante de temps du système oscillant. Cette quantité représente le temps nécessaire pour que l'amplitude du phénomène physique soit divisée par \(e=2,71828 \ldots\).

On voit souvent en physique cette equation sous différentes formes :

• la durée de vie d'une particule: la classique du temps de décomposition d'un atome 😌
• temps de relaxation d'un état excité : le pendule, encore un pendule ⏳
• mouvement oscillant quelconque

5.3.3. Echelles logarithmiques

Les échelles logarithmiques sont des outils puissants en science pour représenter et analyser des données qui varient sur plusieurs ordres de grandeur. Elles permettent de visualiser des phénomènes complexes, de simplifier les analyses et de mieux comprendre les relations exponentielles. Leur utilisation est omniprésente, de l'astronomie à la biologie en passant par l'économie, ce qui en fait un pilier de la représentation scientifique essayons de comprendre cela en détails 👁️

Pourquoi utiliser des échelles logarithmiques

Imaginez un monde où les distances entre les étoiles, l'intensité d'un son, ou même la croissance d'une population bactérienne, s'étendent sur des échelles si vastes qu'elles défient notre intuition. Comment représenter ces phénomènes, qui vont de l'infiniment petit à l'infiniment grand, sans perdre leur essence ? C'est ici qu'intervient l'échelle logarithmique, un outil discret mais puissant, qui transforme notre façon de voir et de comprendre l'univers.

L'échelle logarithmique ne mesure pas les quantités de manière linéaire, comme une règle classique, mais en fonction de leur logarithme. Chaque pas sur cette échelle représente une multiplication par un facteur constant, souvent 10. Ainsi, au lieu de voir des nombres comme 1, 10, 100, 1000 s'étirer sur une ligne infinie, ils se resserrent harmonieusement en points équidistants : 1, 2, 3, 4. Cette compression élégante permet de capturer des données qui varient sur des ordres de grandeur énorme (type la magnitude d'une étoile).

Une échelle linéaire permet de représenter des grandeurs qui ne «varient pas trop" ; par exemple les nombres de \(-6\) à \(6\).

Ceci nécessite de représenter 12 intervalles. La longueur d'un intervalle représente la valeur 1 et la distance d'un nombre à 0 est proportionnelle à ce nombre : nous avons utilisé une échelle linéaire.

Par contre, il est impossible sur cette feuille, de représenter les nombres de \(10^{-4}\) à \(10^4\) . Dans le cas où les valeurs à représenter sont très différentes, une échelle logarithmique s'avère très utile puisque la fonction \(\log x\) varie moins rapidement que la fonction \(x\).

5.3.4. Comprendre la notion de pH

Commençons par le commencement; l'eau $mathrm{H}_{2} mathrm{O} $ cette molécule essentielle que l'on connait tous, possède une propriété fascinante : elle peut se dissocier en ions³. Cette dissociation s'écrit de la manière suivante :

\[ \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{OH}^{-} \]

Une molécule d'eau (\(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\)) se sépare en un ion hydrogène (\(\mathrm{H}^{+}\)) et un ion hydroxyde (\(\mathrm{OH}^{-}\)).

Cette réaction est réversible, ce qui signifie que les ions peuvent se recombiner pour former de l'eau. Dans l'eau pure, à l'équilibre, les concentrations de ces ions sont extrêmement faibles, mais elles jouent un rôle crucial dans de nombreux processus chimiques et biologiques.

Le produit ionique de l'eau

Une propriété fondamentale de l'eau est que le produit des concentrations des ions \(\mathrm{H}^{+}\) et \(\mathrm{OH}^{-}\) est toujours constant, à une température donnée. Ce produit, appelé produit ionique de l'eau, est noté \(K_w\) et vaut :

\[ \left[\mathrm{H}^{+}\right] \cdot \left[\mathrm{OH}^{-}\right] = 10^{-14} \quad \text{(à 25°C)} \]

Cela signifie que si la concentration en ions \(\mathrm{H}^{+}\) augmente, celle en ions \(\mathrm{OH}^{-}\) diminue, et vice versa. Dans l'eau pure, les concentrations de ces deux ions sont égales :

\[ \left[\mathrm{H}^{+}\right] = \left[\mathrm{OH}^{-}\right] = 10^{-7} \, \text{mol/L} \]

Cette égalité définit une solution neutre, où l'eau n'est ni acide ni basique.

Pour quantifier l'acidité ou la basicité d'une solution, on utilise une échelle appelée pH. Le pH est défini comme le logarithme négatif (en base 10) de la concentration en ions \(\mathrm{H}^{+}\) :

\[ \mathrm{pH} = -\log \left[\mathrm{H}^{+}\right] \]

Par conséquent, si on connaît le pH d'une solution, on peut retrouver la concentration en ions \(\mathrm{H}^{+}\) grâce à la relation inverse :

\[ \left[\mathrm{H}^{+}\right] = 10^{-\mathrm{pH}} \]

Dans l'eau pure, où \(\left[\mathrm{H}^{+}\right] = 10^{-7} \, \text{mol/L}\), le pH est :

\[ \mathrm{pH} = -\log (10^{-7}) = 7 \]

Ainsi, un pH de 7 correspond à une solution neutre.

Acides et bases : les perturbateurs de l'équilibre

Un acide est une substance capable de libérer des ions \(\mathrm{H}^{+}\) en solution. Par exemple, un acide générique \(\mathrm{AH}\) se dissocie de la manière suivante :

\[ \mathrm{AH} \rightleftharpoons \mathrm{A}^{-} + \mathrm{H}^{+} \]

Lorsqu'un acide est ajouté à l'eau, la concentration en ions \(\mathrm{H}^{+}\) augmente, ce qui fait baisser le pH. Une solution acide a donc un pH inférieur à 7.

À l'inverse, une base est une substance capable de libérer des ions \(\mathrm{OH}^{-}\). Par exemple, une base générique \(\mathrm{BOH}\) se dissocie ainsi :

\[ \mathrm{BOH} \rightleftharpoons \mathrm{B}^{+} + \mathrm{OH}^{-} \]

Lorsqu'une base est ajoutée à l'eau, la concentration en ions \(\mathrm{OH}^{-}\) augmente. Comme le produit ionique de l'eau doit rester constant (\(10^{-14}\)), la concentration en ions \(\mathrm{H}^{+}\) diminue, ce qui fait augmenter le pH. Une solution basique a donc un pH supérieur à 7.

L'échelle des pH : de 0 à 14 (et au-delà)

Pour mesurer ces variations l'échelle des pH est donc une échelle logarithmique qui s'étend généralement de 0 à 14, bien que des valeurs en dehors de cette plage soient possibles pour des solutions extrêmement acides ou basiques. Voici quelques repères :

• pH = 7 : Solution neutre (eau pure).
• pH < 7 : Solution acide (plus le pH est faible, plus l'acidité est forte).
• pH > 7 : Solution basique (plus le pH est élevé, plus la basicité est forte).

Par exemple : - Le jus de citron a un pH d'environ 2, ce qui en fait un acide assez fort. - L'eau de mer a un pH d'environ 8, légèrement basique. - L'acide chlorhydrique concentré peut avoir un pH proche de 0, tandis qu'une solution concentrée de soude (hydroxyde de sodium) peut atteindre un pH de 14.

Pourquoi le pH est-il si important ?

Le pH est une mesure essentielle en chimie, en biologie, et dans de nombreux domaines industriels. Il influence : - Les réactions chimiques : certaines réactions ne se produisent qu'à des pH spécifiques. - Les processus biologiques : les enzymes, par exemple, fonctionnent de manière optimale dans une plage de pH étroite. - La qualité de l'eau : un pH trop acide ou trop basique peut être nocif pour les écosystèmes aquatiques.

En résumé, le pH est une clé pour comprendre l'équilibre délicat entre acidité et basicité, un équilibre qui régit une grande partie de la chimie de notre monde moderne.

5.3.5. Comprendre l'intensité sonore

L'oreille humaine est capable de percevoir des sons d'intensité extrêmement faible, à partir d’environ \( 10^{-12} \, \mathrm{W/m^2} \), qui correspond au seuil de l’audition. À l’opposé, le seuil de la douleur est atteint pour une intensité sonore d’environ 1 à \( 10 \, \mathrm{W/m^2} \). Ces deux valeurs montrent que l’intensité sonore varie sur une échelle très large, rendant difficile une représentation linéaire de ces données. Pour cette raison, on utilise une échelle logarithmique, qui permet de comprimer cette large plage d’intensités en une échelle plus facile à manipuler.

L’intensité sonore est mesurée en décibels acoustiques (dBA), définis par la relation suivante :
$$I \, \text{(en dBA)} = 10 \log \frac{I}{I_0}$$ où : - \( I \) est l’intensité sonore mesurée (en \( \mathrm{W/m^2} \)), - \( I_0 = 10^{-12} \, \mathrm{W/m^2} \) est l’intensité de référence correspondant au seuil de l’audition humaine, - \( \log \) désigne le logarithme décimal (base 10).

Le bel et la relation avec le décibel

L’unité officielle dans le Système International (SI) est le bel. Une augmentation de l’intensité sonore d’un facteur 10 correspond à une augmentation de 1 bel. Toutefois, pour des raisons pratiques, on utilise une subdivision du bel : le décibel (dB), qui est 10 fois plus petit qu’un bel. Ainsi, une augmentation de 1 bel correspond à une augmentation de 10 dB.

Superposition de deux sons

Lorsqu’on superpose deux sons de même niveau sonore, le résultat n’est pas une simple addition des décibels. Par exemple, si deux sons identiques de 100 dBA sont combinés, le niveau sonore obtenu est 103 dBA, et non 200 dBA. Cette augmentation de 3 dBA peut être expliquée mathématiquement en additionnant les intensités acoustiques :

$$10 \log \frac{I_1 + I_2}{I_0} = 10 \log \frac{2 I_1}{I_0} = 10 \log 2 + 10 \log \frac{I_1}{I_0}$$ En décomposant : - \( 10 \log 2 \approx 3 \), - \( 10 \log \frac{I_1}{I_0} \) correspond au niveau initial (100 dBA dans cet exemple).

Ainsi, quelle que soit l’intensité initiale d’un son, la superposition de deux sons identiques augmente toujours le niveau sonore de 3 dBA.

Le système logarithmique utilisé pour les décibels reflète mieux la manière dont l’oreille humaine perçoit les sons : une augmentation de 10 dBA est ressentie comme un doublement de l’intensité sonore perçue.

La perception humaine du son est donc plus sensible aux variations relatives qu’aux variations absolues de l’intensité sonore.

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6. FONCTIONS HYPERBOLIQUES DIRECTES ET INVERSES

Les fonctions hyperboliques présentent des similitudes avec les fonctions trigonométriques classiques (sinus, cosinus et tangente), mais qui sont définies en termes de fonctions exponentielles.

Elles jouent un rôle important en mathématiques, en physique et en ingénierie, notamment dans l'étude des équations différentielles⁴, des géométries non euclidiennes⁵ et des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle plus généralement.

6.1. Les fonctions hyperboliques

Définition

Les fonctions hyperboliques principales sont le sinus hyperbolique \(sinh\), le cosinus hyperbolique \(cosh\) et la tangente hyperbolique \(tanh\). Elles sont définies à l'aide de la fonction exponentielle tel que : $$cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\ sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\ tanh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$$

Pour la suite on notera les fonctions manière abrégée tel que \(sinh(x):=sh(x)\)

Ces fonctions ont des propriétés voisines de celles des fonctions trigonométriques, en effet :

\[ e^{x}=\operatorname{ch} x+\operatorname{sh} x \quad \text { et } \quad e^{-x}=\operatorname{ch} x-\operatorname{sh} x \]

On remarque que en les multipliant membres à membres on obtient également une identité, similaires à celles des fonctions trigonométriques :

\[ \operatorname{ch}^{2} x-\operatorname{sh}^{2} x=1 \]

Relation très analogue à \(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1\).

6.1.1. Relations de transformations

Comme pour les fonctions circulaires on démontre des formules d'addition et de multiplication :

\[ \begin{aligned} & \operatorname{ch}(a+b)=\operatorname{ch} a \operatorname{ch} b+\operatorname{sh} a \operatorname{sh} b \\ & \operatorname{ch}(a-b)=\operatorname{ch} a \operatorname{ch} b-\operatorname{sh} a \operatorname{sh} b \\ & \operatorname{sh}(a+b)=\operatorname{sh} a \operatorname{ch} b+\operatorname{sh} b \operatorname{ch} a \\ & \operatorname{sh}(a-b)=\operatorname{sh} a \operatorname{ch} b-\operatorname{sh} b \operatorname{ch} a \\ & \operatorname{th}(a+b)=\frac{\operatorname{th} a+\operatorname{th} b}{1+\operatorname{th} a \operatorname{th} b} \\ & \operatorname{th}(a-b)=\frac{\operatorname{th} a-\operatorname{th} b}{1+\operatorname{th} a \operatorname{th} b} \end{aligned} \]

Toutes ces relations se démontrent assez simplement en revenant aux définitions initiales. Par ailleurs, il est toujours bon de savoir (pour les exercices les plus farfelues 🥹) que lorsqu'on fait \(a=b=x\), on obtient :

\[ \begin{aligned} & \text { ch } 2 x=\operatorname{ch}^{2} x+\operatorname{sh}^{2} x \\ & \text { sh } 2 x=2 \operatorname{sh} x \operatorname{ch} x \\ & \text { th } 2 x=\frac{2 \operatorname{th} x}{1+\operatorname{th}^{2} x} \end{aligned} \]

\[ \operatorname{ch}^{2} x=\frac{\operatorname{ch} 2 x+1}{2} \quad \text { et } \quad \operatorname{sh}^{2} x=\frac{\operatorname{ch} 2 x-1}{2} \]

On démontre également des relations de multiplication ainsi que des formules analogues à celle de Moivre énoncées plus haut :

\[ \begin{aligned} & \operatorname{sh} p+\operatorname{sh} q=2 \operatorname{sh} \frac{p+q}{2} \cdot \operatorname{ch} \frac{p-a}{2} \\ & \operatorname{ch} p-\operatorname{ch} q=2 \operatorname{sh} \frac{p-q}{2} \cdot \operatorname{sh} \frac{p+q}{2} \end{aligned} \]

Ou encore avec les puissances :

\[ \begin{aligned} & (\operatorname{ch} x+\operatorname{sh} x)^{n}=\operatorname{ch} n x+\operatorname{sh} n x \\ & (\operatorname{ch} x-\operatorname{sh} x)^{n}=\operatorname{ch} n x-\operatorname{sh} n x \end{aligned} \]

6.1.2. Etudes de variation des fonctions hyperboliques

Les fonctions hyperboliques sont définies et continues pour toutes valeurs de \(x\). La fonction \(ch(x)\) est paire et toujours positive tandis que \(sh(x)\) et \(th(x)\) sont des fonctions impaires toujours croissantes, on peut donc limiter leurs intervalles d'étude à \([0,+\infty]\).

Définition

Au voisinage de l'origine ces fonctions admettent les développements limités suivants :

\[ \begin{aligned} & \text { sh } x=x+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{2 p+1}}{(2 p+1)!}+\varepsilon\left(x^{2 p+1}\right) \\ & \operatorname{ch} x=1+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{2 p}}{(2 p)!}+\varepsilon\left(x^{2 p}\right) \\ & \text { th } x=x-\frac{x^{3}}{3}+\cdots+(-1)^{2 p+1} \frac{x^{2 p+1}}{2 p+1}+\varepsilon\left(x^{2 p+1}\right) \end{aligned} \]

Lorsque \(x\) tend vers plus l'infini, \(ch(x)\) et \(sh(x)\) tendent également vers plus l'infini tandis que \(th(x)\) tend vers 1.

Au passage remarquons que contrairement à la fonction \(y=(\sin x) / x\), la fonction \(y=(\operatorname{sh} x) / x\) tend vers l'infini, en effet $$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{\operatorname{sh} x}{x}\right] \cong \frac{e^{x}}{2 x} \rightarrow+\infty$$

Les fonctions \(ch(x)\) et \(sh(x)\) admettent donc des branches paraboliques infinies \(y=1\).

A partir de leurs définitions les dérivées des fonctions hyperboliques se calculent immédiatement:

\[ (\operatorname{ch} x)^{\prime}=\operatorname{sh} x, \quad(\operatorname{sh} x)^{\prime}=\operatorname{ch} x, \quad(\operatorname{th} x)^{\prime}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2} x} \]

La fonction \(ch(x)\) admet done une tangente horizontale en \(x=0\) alors que les fonctions \(sh(x)\) et \(th(x)\) admettent au même point une tangente ayant la direction de la première bissectrice comme illustré ci-dessous.

Sinus/Cosinus Hyperbolique	Tangeante Hyperbolique

Les fonctions hyperboliques ne sont évidemment pas périodiques.

Les graphes ci-dessus qui illustrent leurs variations sont construits à partir des informations recueillies plus haut et en tenant compte des symétries élémentaires. \(ch(x)\) est symétrique par rapport à l'axe \(y\). Et \(sh(x)\) et \(th(x)\) sont tous deux symétriques par rapport à l'origine.

6.2. Les fonctions hyperboliques inverses

Définition

La fonction \(y=ch(x)\) est continue et croissante dans l'intervalle allant de 0 à l'infini. Elle admet donc une fonction inverse qu'on note : $$x=\operatorname{Arg} \operatorname{ch} y$$ et qu'on nomme argument cosinus hyperbolique \(y\).

Pareil pour les fonctions \(y=\operatorname{sh}(x)\) et \(y=\operatorname{th}(x)\) sont continues et croissantes pour toutes valeurs de \(x\). Elles admettent donc aussi sur cet intervalle des fonctions inverses notées $$x=\operatorname{Arg} \operatorname{sh} y \quad \text { et } \quad x=\operatorname{Arg} \operatorname{th} y$$ et nommées eux aussi respectivement : "Argument sinus hyperbolique" et "Argument tangente hyperbolique".

6.2.1. Dérivées

Si \(f(x)\) admet \(g(y)\) pour fonction inverse on a déjà démontré au chapitre 1 que : $$g^{\prime}(y)=1 / f^{\prime}(x)$$

Et donc, ainsi

\[ \begin{aligned} & (\operatorname{Arg} \operatorname{ch} y)^{\prime}=\frac{1}{(\operatorname{ch} x)^{\prime}}=\frac{1}{\operatorname{sh} x}=\frac{1}{\sqrt{\operatorname{ch}^2 x-1}}=\frac{1}{\sqrt{y^2-1}} \\ & (\operatorname{Arg} \operatorname{sh} y)^{\prime}=\frac{1}{(\operatorname{sh} x)^{\prime}}=\frac{1}{\operatorname{ch} x}=\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sh}^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{y^2+1}} \\ & (\operatorname{Arg} \operatorname{th} y)^{\prime}=\frac{1}{(\operatorname{th} x)^{\prime}}=\operatorname{ch}^2 x=\frac{1}{1-\operatorname{th}^2 x}=\frac{1}{1-y^2} \end{aligned} \]

En rovenant aux notations directes on a donc :

\[ \begin{array}{ll} y=\operatorname{Arg} \operatorname{ch} x \longrightarrow & y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} \\ y=\operatorname{Arg} \operatorname{sh} x \longrightarrow & y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \\ y=\operatorname{Arg} \operatorname{th} x \longrightarrow & y^{\prime}=\frac{1}{1-x^{2}} \end{array} \]

6.2.2. Variations et graphes des fonctions hyperboliques inverses

Les graphes des fonctions hyperboliques inverses se déduisent des graphes des fonctions directes. Tel que :

Sinus/Cosinus Hyperbolique inverse	Tangeante Hyperbolique inverse

6.2.3. Expression logarithmique

Les fonctions hyperboliques se définissent à partir de la fonction exponentielle. Leurs fonctions inverses peuvent donc s'exprimer à l'aide de la fonction inverse de la fonction exponentielle, c'est-à-dire la fonction logarithmique 😎.

Considérons la fonction \(y=Argch(x)\). Elle admet pour fonction inverse \(x=\operatorname{ch} y=(1 / 2)\left(e^{y}+e^{-y}\right)\). Posons \(e^{y}=U\), on peut alors déveloper :

\[ x=\frac{U+(1 / U)}{2}=\frac{U^{2}+1}{2 U} \]

d'où l'équation \(U^{2}-2 U x+1=0\).

Lorsque \(x \geq 1\) cette équation admet deux racines positives dont le produit est égal à un, soit : $$U_{1}=x+\sqrt{x^{2}-1} \quad \text { et } \quad U_{2}=x-\sqrt{x^{2}-1}$$

Seule convient la racine qui reste positive quelque soit \(x\), d'où $$U=e^{y}=x+\sqrt{x^{2}-1}$$

Enfin on peut donc écrire : $$\begin{aligned} & \operatorname{Arg} \operatorname{ch} x=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right| \quad x \geq 1 \\ & \operatorname{Arg} \operatorname{sh} x=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}+1}\right| \\ & \operatorname{Arg} \operatorname{th} x=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right| \quad-1<x<+1 \end{aligned}$$

6.3. Applications des fonctions hyperboliques

Tout comme les fonctions circulaires et leurs inverses, ces fonctions ont d'importantes applications en physique et en ingénierie.

Dans le calcul intégral elles facilitent souvent le calcul de certaines primitives. Ce sont des changement de variable à connaitre si on veut intégrer comme un ninja 🥷.

Exemple : calcul de \(I=\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} dx\)

Posons : \(x=a\) \(cht\) d'où \(dx=a\) sh \(dt\), l'intégrale devient alors :

\[ I=\int \sqrt{a^{2}\left(\operatorname{ch}^{2} t-1\right)} a \operatorname{sh} t \mathrm{~d} t=a^{2} \int \operatorname{sh}^{2} t \mathrm{~d} t=a^{2} \int \frac{\operatorname{ch} 2 t-1}{2} \mathrm{~d} t \]

soit

\[ I=\frac{a^{2}}{2}\left[\frac{\operatorname{sh} 2 t}{2}-t\right]+C \]

Or

\[ \operatorname{sh} 2 t=2 \operatorname{sh} t \operatorname{ch} t=\frac{2 x}{a} \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-1}=\frac{2 x}{a^{2}} \sqrt{x^{2}-a^{2}} \]

et donc :

\[ t=\operatorname{Arg} \operatorname{ch} \frac{x}{a} \]

d'où :

\[ I=\frac{a^{2}}{2}\left[\frac{x}{a^{2}} \sqrt{x^{2}-a^{2}}-\operatorname{Arg} \operatorname{ch} \frac{x}{a}\right]+C \]

C'est un changement de variable assez courant que vous retrouverez dans beacoup d'exercices, il est donc bon de l'avoir sous le coude 🤓

Une nouvelle liste d'intégrales usuelles vient s'ajouter à celle du début de chapitre :

\[ \begin{aligned} & \int \operatorname{sh} x \mathrm{~d} x=\operatorname{ch} x+C \\ & \int \operatorname{ch} x \mathrm{~d} x=\operatorname{sh} x+C \\ & \int \frac{\mathrm{~d} x}{\operatorname{ch}^{2} x}=\operatorname{th} x+C \\ & \int \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{x^{2} \pm 1}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2} \pm 1}\right|+C \\ & \int \frac{\mathrm{~d} x}{1-x^{2}}=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C \\ & \int \operatorname{Arg} \operatorname{sh} x \mathrm{~d} x=x \operatorname{Arg} \operatorname{sh} x-\sqrt{1-x^{2}}+C \\ & \int \operatorname{Arg} \operatorname{ch} x \mathrm{~d} x=x \operatorname{Arg} \operatorname{sh} x-\sqrt{x^{2}-1}+C \\ & \int \operatorname{Arg} \operatorname{th} x \mathrm{~d} x=x \operatorname{Arg} \operatorname{th} x+\frac{1}{2} \ln \left|1-x^{2}\right|+C \end{aligned} \]

Une des applications pratiques des fonctions hyperboliques est la représentation analytique de la courbe que prend un fil pesant homogène suspendu par ses extrémités \(A_{1}\) et \(A_{2}\) comme sur le schéma ci-dessous.

On montre que l'équation de cette courbe est de la forme :

$$y=\frac{k}{2}\left(e^{(x+C) / k}+e^{-(x+C) / k}\right)+C^{\prime}$$ où \(C\) et \(C^{\prime}\) sont des constantes arbitraires déterminées par la condition que la courbe passe par les points de suspension, et \(k\) une constante qui dépend de la densité linéaire du fil. Cette courbe est appelée "chaînette" et l'on reconnaît dans son équation notre cosins hyperbolique :

\[ y=k \operatorname{ch} \frac{x+C}{k}+C^{\prime} \]

Cette équation a son importance dans l'installation des lignes de transport electriques et dans la construction des ponts suspendus.

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1. Loi de distribution de Gauss wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale ↩

2. Densité de probabilité d'une vrariable aléatoire wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Variable_aléatoire_à_densité ↩

3. Page wikipedia / chimie de l'eau : https://fr.wikipedia.org/wiki/Mol%C3%A9cule_d%27eau ↩

4. Page wikipedia / géométrie hyperbolique : https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_hyperbolique ↩

5. Page wikipedia / équation différentielle : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle ↩