PRIMITIVES & INTÉGRALE INDÉFINIE

Le concept de fonction primitive, anti-dérivée ou dérivée inverse trouve son origine dans les premières tentatives de calcul des surfaces et des volumes, qui constituent le fondement du calcul intégral.

Petit point historique

Dans la Grèce antique, des mathématiciens comme Eudoxe et Archimède ont mis au point des méthodes telles que la méthode de l'épuisement pour calculer approximativement les aires sous les courbes. Ces travaux ont jeté les bases d'une compréhension qui sera plus tard formalisée dans le calcul. Dans l'Inde médiévale, des mathématiciens comme Aryabhata et Bhaskara II ont exploré les séries infinies et les notions qui font allusion aux intégrales et aux dérivées. ¹

Au cours de l'âge d'or islamique, des savants comme Ibn al-Haytham (Alhazen) ont perfectionné les techniques de calcul des volumes et des surfaces, ce qui a permis de poser d'autres jalons. Toutefois, ce n'est qu'au \(XVII^è\) siècle que la relation entre la différenciation et l'intégration a été clairement formulée. ²

Isaac Barrow, mentor d'Isaac Newton, a été le premier à identifier cette relation, tandis que Newton et Leibniz ont indépendamment formalisé le calcul. Newton l'a abordé de manière géométrique, tandis que Leibniz a introduit les notations modernes pour l'intégration et la différenciation, y compris le symbole de l'intégrale d'aujourd'hui \(\int\).³

Ces idées ont été affinées aux \(XVIII^è\) et \(XIX^è\) siècles. Des mathématiciens comme Leonhard Euler ont étendu l'application des intégrales, tandis qu'Augustin-Louis Cauchy a introduit des définitions rigoureuses de la continuité, des limites et de l'intégration. Carl Friedrich Gauss a exploré les intégrales définies et leurs applications en physique et en théorie des nombres.

Le \(XX^è\) siècle a apporté des généralisations importantes. Henri Lebesgue a développé l'intégrale de Lebesgue⁴, qui permet l'intégration de fonctions plus complexes, y compris celles qui présentent des discontinuités. Le développement de l'analyse fonctionnelle a élargi le champ d'application de l'intégration et de la différenciation, en incorporant des contextes plus larges tels que les distributions et les espaces fonctionnels.

Les primitives restent essentielles pour résoudre les problèmes de physique, d'ingénierie et d'économie, en particulier dans les applications nécessitant l'évaluation de surfaces, de volumes et d'équations différentielles. 🥸∰

En résumé on peut dire que le calcul intégrale vient du problème de détermination de la taille des formes, comme l'espace sous une courbe.

1. PRIMITIVES

Définition

On appelle "Primitive" de la fonction \(f(x)\) toute fonction \(F(x)\) telle que : $$f(x)=\frac{d[F(x)]}{\mathrm{d} x}$$

Ainsi, par exemple, une primitive de \(f(x)=x\) est \(F(x)=x^{2} / 2\) car, $$\frac{d\left(x^{2} / 2\right)}{\mathrm{d} x}=x=f(x)$$

mais \(\left(x^{2} / 2\right)+5\) ou \(\left(x^{2} / 2\right) -11\) sont aussi primitives de \(f(x)=x\).

En général si \(F(x)\) est une primitive de \(f(x)\), toutes les fonctions \([F(x)+C]\) où \(C\) est une constante arbitraire sont des primitives de \(f(x)\); en effet: $$\frac{d[F(x+C]}{\mathrm{d} x}=\frac{d[F(x)]}{\mathrm{d} x}=f(x)$$

2. INTÉGRALE INDÉFINIE

Définition

On appelle intégrale indéfinie de la fonction \(f(x)\) et on note \(\int f(x) \mathrm{d} x\) toutes les fonctions \(F(x)+C\) où \(F(x)\) est la primitive de \(f(x)\) et \(C\) une constante arbitraire

\[ \int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C \]

2.2. Propriétés importantes

Etant données deux fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\) et deux constantes arbitraires non nulles \(a\) et \(b\) $$\int[a f(x)+b g(x)] \mathrm{d} x=a \int f(x) \mathrm{d} x+b \int g(x) \mathrm{d} x$$ $$\text { Si } \int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C \text { alors } \int f(a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} F(a x+b)+C$$

Ces deux propriétés se démontrent par simple dérivation.

2.3. Tableau des intégrales des fonctions usuelles

Remarque : ces intégrales s'appliquent quelle que soit la variable utilisée.

\[ \begin{aligned} & \int a d x=a x+C \\ & \int x^{n} \mathrm{~d} x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad \text { quel que soit } \quad n \neq-1 \\ & \int \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\ln |x|+C=\ln \frac{|x|}{C^{\prime}} \\ & \left(C^{\prime}>0\right) \\ & \int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C \\ & \int \sin x d x=-\cos x+C \\ & \int \frac{\mathrm{~d} x}{\cos ^{2} x}=\operatorname{tg} x+C \\ & \int \frac{d x}{\sin ^{2} x}=\operatorname{cotg} x+C \\ & \int \operatorname{tg} x d x=-\ln |\cos x|+C \\ & \int \operatorname{cotg} x d x=\ln |\sin x|+C \\ & \int e^{x} \mathrm{~d} x=e^{x}+C \\ & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C \\ & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\operatorname{Arctg} x+C \\ & \int d x \\ & \begin{array}{l} \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\operatorname{Arcsin} x+C \\ \int \frac{-d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\operatorname{Arccos} x+C \end{array} \\ & \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} \pm 1}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2} \pm 1}\right|+C \\ & \int \operatorname{Arcsin} x \mathrm{~d} x=x \operatorname{Arcsin} x+\sqrt{1-x^{2}}+C \\ & \int \operatorname{Arccos} x d x=x \operatorname{Arccos} x+\sqrt{1-x^{2}}+C \\ & \int \operatorname{Arctg} x d x=x \operatorname{Arctg} x-\ln \sqrt{1-x^{2}}+C \end{aligned} \]

Exemples $$\begin{aligned} & \int \frac{d u}{u}=\ln |u|+C \\ & \int \frac{\mathrm{~d} u}{1+u^{2}}=\operatorname{Arctg} u+C \\ & \int e^{u} d u=e^{u}+C \end{aligned}$$

Si \(u\) est une fonction de \(x\), on a alors: $$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d} u}{u} & =\int \frac{u^{\prime}(x) \mathrm{d} x}{u(x)}=\ln |u(x)|+C \\ \int \frac{\mathrm{~d} u}{1+u^{2}} & =\int \frac{u^{\prime}(x) \mathrm{d} x}{1+u(x)^{2}}=\operatorname{Arctg} u(x)+C \\ \int e^{u} \mathrm{~d} u & =\int u^{\prime}(x) e^{u(x)} \mathrm{d} x=e^{u(x)}+C \end{aligned}$$

3. RECHERCHE DES PRIMITIVES OU PROCÉDÉS D'INTÉGRATION

Il n'y a pas de méthode générale d'intégration, tout dépend de la forme de la fonction à intégrer, cependant il existe quelques procédés classiques qui permettent de ramener l'intégrale à une forme connue.

3.1. Intégration par changement de variable

C'est l'une des méthodes les plus importantes du calcul intégral. Elle consiste à passer, a l'aide d'un changement de variable, d'une intégrale compliquée à une intégrale dont la solution est connue.

Soit l'intégrale : $$I=\int f(x) \mathrm{d} x$$

On pose, \(x=\varphi(t)\) d'où \(\mathrm{d} x=\varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\), l'intégrale \(I\) devient : $$I=\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\int g(t) \mathrm{d} t$$ \(\varphi(t)\) étant bien entendue une fonction définie, continue, dérivable et possédant une fonction inverse pour tout \(x\).

Il arrive fréquemment qu'on connaisse une primitive \(G(t)\) de la fonction \(g(t)\) alors qu'on ne connaît pas directernent une primitive de \(f(x)\), finalement : $$I=G(t)+C=G\left[\varphi^{-1}(x)\right]+C$$ où \(\varphi^{-1}(x)=t\) est la fonction inverse de \(\varphi(t)\) et \(C\) une constante arbitraire.

Jeretiens

En pratique la difficulté essentielle est de bien choisir le changement de variable, ce qui nécessite d'avoir en têtel'ensemble des fonctions dont on connait les primities. 🤓

Exemple 1 : calcul de l'intégrale \(I=\int \frac{\mathrm{d} x}{a x+b}\)

Effectuons le changement de variable \(t=a x+b\), d'où \(\mathrm{d} t=a \mathrm{~d} x\); alors notre intégrale s'écrit : $$\begin{gathered} I=\frac{1}{a} \int \frac{\mathrm{~d} t}{t}=\frac{1}{a} \ln |t|+C=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C \\ I=\int \frac{\mathrm{d} x}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C \end{gathered}$$

Exemple 2 : calcul de l'intégrale \(I=\int \frac{x \mathrm{~d} x}{a x^{2}+b}\)

Soit le changement de variable \(t=a x^{2}+b\) d'où \(\mathrm{d} t=2 a x \mathrm{~d} x\); l'intégrale \(I\) devient: $$I=\frac{1}{2 a} \int \frac{\mathrm{~d} t}{t}=\frac{1}{2 a} \ln |t|+C$$ soit : $$I=\int \frac{\mathrm{d} x}{a x+b}=\frac{1}{2 a} \ln \left|a x^{2}+b\right|+C$$

Exemple 3 : calcul de l'intégrale \(I=\int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2}+x^{2}}\)

Cette fois, posons, \(x=a t\) d'où \(\mathrm{d} x=a \mathrm{~d} t\); il vient : $$I=\int \frac{a \mathrm{~d} t}{a^{2}\left(1+t^{2}\right)}=\frac{1}{a} \int \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{Arctg} t+C$$ d'où, $$I=\int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{Arctg} \frac{x}{a}+C$$

Exemple 4 : calcul de l'intégrale \(I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)

Le même changement de variable conduit immédiatement à : $$I=\int \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1-t^{2}}}=\operatorname{Arcsin} t+C$$ d'où : $$I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\operatorname{Arcsin} \frac{x}{a}+C$$

Exemple 5 : calcul de l'intégrale \(I=\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x\)

Effectuons le changement \(x=a \sin \theta\) d'où \(\mathrm{d} x=a \cos \theta \mathrm{~d} \theta\), il vient : $$I=\int \sqrt{a^{2}\left(1-\sin ^{2} \theta\right)} a \cos \theta \mathrm{~d} \theta=a^{2} \int \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$$

Comme \(\cos ^{2} \theta=(1 / 2)(1+\cos 2 \theta)\), on retombe sur une intégrale simple et il faut noter ici l'intérêt de la linéarisation à l'aide des relations de transformation. $$I=\frac{a^{2}}{2} \int(1+\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta=\frac{a^{2}}{2}\left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right]+C$$ avec \(\theta=\operatorname{Arcsin} \frac{x}{a}\); on a : ?? $$I=\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{a^{2}}{2}\left[\operatorname{Arcsin} \frac{x}{a}+\frac{1}{2} \sin \left(2 \operatorname{Arcsin} \frac{x}{a}\right)\right]+C$$

Comme vous pouvez le voir, l'astuce du changement de variable est primordiale dans la résolution de ces intégrales, il n'est pas nécéssaire de les savoirs pae coeur mais il est bon de les avoirs en tête.

3.2. Intégration par partie

Défintion

Si \(U(x)\) et \(V(x)\) sont deux fonctions dérivables, la différentielle du produit \(U(x) . V(x)\) est donc d'après les formules vues au chapitre dérivation :

\[ d[U(x).V(x)] = V(x).dU(x)+U(x).dV(x) \]

en intégrant les deux membres de cette égalité, on obtient:

\[ \int d[U(x).V(x)] = U(x).V(x) = \int V(x).dU(x)+ \int U(x).dV(x) \]

soit, en notations abrégées :

\[ \int U.dV=U.V-\int V.dU \]

Le calcul de l'intégrale \(\int U . \mathrm{d} V\) est ramené au calcul de l'intégrale \(\int V \cdot \mathrm{~d} U\), qui peut être une intégrale plus simple ou connue. Ce procédé s'utilise pour intégrer notamment : - le produit d'un polynôme par une exponentielle, un logarithme ou une fonction trigonométrique. Le procédé le plus courant consiste alors à abaisser le degré du polynôme par des intégrations par parties successives ; - le produit d'une exponentielle par un sinus ou un cosinus.

Exemple 1 : calcul de l'intégrale \(I=\int x^{2} e^{3 x} ~dx\)

Pour la première intégration par parties, posons : $$U_{1}=x^{2} \quad \text { d'où } \mathrm{d} U_{1}=2 x \mathrm{~d} x \text { et } \mathrm{d} V_{1}=e^{3 x} \mathrm{~d} x \text { d'où } V_{1}=\frac{1}{3} e^{3 x}$$ il vient : $$I=(1 / 3) x^{2} e^{3 x}-(2 / 3) \int x e^{3 x} \mathrm{~d} x$$

On calcul alors l'intégrale du second membre par une deuxième intégration par parties, en posant :

\[ \begin{gathered} U_{2}=x \text { d'où } \mathrm{d} U_{2}=\mathrm{d} x \text { et } \mathrm{d} V_{2}=e^{3 x} \mathrm{~d} x \text { d'où } V_{2}=\frac{1}{3} e^{3 x} \\ \int x e^{3 x} \mathrm{~d} x=(1 / 3) x e^{3 x}-(1 / 3) \int e^{3 x} \mathrm{~d} x=(1 / 3) x e^{3 x}-(1 / 9) e^{3 x}+C \end{gathered} $$ en revenant à l'intégrale initiale, on obtient : $$ I=e^{3 x}\left[\frac{1}{3} x^{2}-\frac{2}{9} x+\frac{2}{27}\right]+C' \]

Jeretiens

De cet exemple se dégage une règle pratique, à savoir que la primitive d'une expression de la forme \(e^{x} P(x)\) est de la forme \(e^{x} Q(x)\), où \(Q(x)\) est un polynôme du même degré que \(P(x)\).

Appliquons cette règle au présent exemple :

\[ I=\int x^{2} e^{3 x} \mathrm{~d} x=e^{3 x}\left(a x^{2}+b x+c\right) \]

Pour calculer \(a, b\) et \(c\) il suffit de dériver les deux membres et d'identifier ; il vient :

\(x^{2} e^{3 x}=3 e^{3 x}\left(a x^{2}+b x+c\right)+e^{3 x}(2 a x+b)=e^{3 x}\left[3 a x^{2}+(3 b+2 a) x+(3 c+b)\right]\) on doit avoir, \(3 a=1\) d'où \(a=1 / 3,(3 b+2 a)=0\) d'où \(b=-(2 / 9)\) et \((3 c+b)=0\) d'où \(c=(2 / 27)\).

On retrouve bien le résultat obtenu directement plus haut, CQFD. 🤓

Exemple 2 : calcul de l'intégrale \(I=\int x \ln x \mathrm{~d} x\)

Afin d'intégrer par parties posons : \(u=\ln x\) d'où \(\mathrm{d} u=\frac{\mathrm{d} x}{x}\) et \(\mathrm{d} v=x \mathrm{~d} x\) d'où \(v=(1 / 2) x^{2}\), on a : $$I=(1 / 2) x^{2} \ln x-(1 / 2) \int x^{2} \frac{\mathrm{~d} x}{x}$$ soit finalement : $$I=(1 / 2) x^{2} \ln x-(1 / 4) x^{2}+C$$

Exemple 3 : calcul de l'intégrale \(I=\int \ln x \mathrm{~d} x\)

Posons \(u=\ln x\) d'où \(\mathrm{d} u=\frac{\mathrm{d} x}{x}\) et \(\mathrm{d} v=\mathrm{d} x\) d'où \(v=x\). La formule d'intégration par parties donne : $$I=x \ln x-\int x \frac{\mathrm{~d} x}{x}=x \ln x-x+C$$

Exemple 4 : calcul de l'intégrale \(I=\int x \cos 2 x \mathrm{~d} x\)

Posons \(u=x\) d'où \(\mathrm{d} u=\mathrm{d} x\) et \(\mathrm{d} v=\cos 2 x \mathrm{~d} x\) d'où \(v=(1 / 2) \sin 2 x\), on peut alors écrire : $$I=(1 / 2) x \sin 2 x-(1 / 2) \int \sin 2 x \mathrm{~d} x$$ soit : $$I=(1 / 2) x \sin 2 x+(1 / 4) \cos 2 x+C$$

3.3. Intégration des fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est une fonction de la forme $$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$ où \(g(x)\) et \(h(x)\) sont deux polynômes, il en existe deux espèces : - si le degré de \(g(x)\) est inférieur à celui de \(h(x)\) la fraction rationnelle est dite "régulière"; - si le degré de \(g(x)\) est supérieur ou égal à celui de \(h(x)\) la fraction rationnelle est dite "irrégulière".

Dans ce dernier cas on effectue une division polynomiale qui conduit à : $$f(x)=P(x)+\frac{R(x)}{h(x)}$$ où \(P(x)\) est un polynôme que l'on sait intégrer et \(R(x) / h(x)\) une fraction rationnelle régulière. La méthode générale d'intégration consiste alors à décomposer la fraction rationnelle en "éléments simples» et à les intégrer séparément.

Définition

Dans le cas le plus général où \(h(x)\) admet \(N\) racines réelles \(a_{n}\) multiples d'ordre \(p_{n}\) et \(M\) racines complexes multiples d'ordre \(q_{m}\) on admettra que la fraction rationnelle se décompose de la manière suivante : $$\frac{R(x)}{h(x)}=\sum_{n}^{N} A_{n}(x)+\sum_{m}^{M} B_{m}(x)$$ $$\begin{aligned} & A_{n}(x)=\frac{A_{n_{1}}}{\left(x-a_{n}\right)}+\frac{A_{n y}}{\left(x-a_{n}\right)^{2}}+\cdots+\frac{A_{n_{m n}}}{\left(x-a_{n}\right)^{p_{n}}} \\ & B_{m}(x)=\frac{B_{m_{1}} x+C_{m 1}}{\left(x^{2}+b_{m} x+c_{m n}\right)}+\frac{B_{m a} x+C_{m y}}{\left(x^{2}+b_{m} x+c_{m}\right)^{2}}+\cdots+\frac{B_{m_{n m}} x+C_{m_{4 m}}}{\left(x^{2}+b_{m} x+C_{m}\right)^{q_{m n}}} \end{aligned}$$

Dans la pratique les coefficients \(A_{n}, B_{m}\) et \(C_{m}\) se calculent assez facilement par identification en choisissant pour la variable \(x\) des valeurs numériquégrer simple.

Pour intégrer une fraction rationnelle on est donc amené à integg séparément cinq types de fonctions différentes : - I'intégration du polynôme \(P(x)\) ne pose ancun problème ; - l'intégration des termes de la forme \(A_{n} /\left(x-a_{n}\right)\), qui correspondent aux racines réelles simples de \(h(x)\), est immédiate : $$A_{n} \int \frac{\mathrm{~d} x}{\left(x-a_{n}\right)}=A_{n} \ln \left|x-a_{n}\right|+C^{\prime}$$ - l'intégration des termes \(A_{n} /\left(x-a_{n}\right)^{k}\) correspondant aux racines réelles multiples d'ordre \(k\) du dénominateur \(h(x)\) conduit à : $$A_{n} \int \frac{\mathrm{~d} x}{\left(x-a_{n}\right)^{k}}=\frac{A_{n}}{1-k} \cdot \frac{1}{\left(x-a_{n}\right)^{k-1}}+C^{\prime \prime}$$ - lorsque le dénominateur \(h(x)\) admet des racines complexes simples et multiples, on est amené à intégrer des termes de la forme : $$\frac{B x+C}{\left(x^{2}+b x+c\right)^{k}}$$

Dans un premier temps on décompose le dénominateur de cette fraction et on l'écrit sous forme canonique : $$\left.\left(x^{2}+b x+c\right)^{k}=\left[\left(x+\frac{b}{2}\right)\right)^{2}+\left(c-\frac{b^{2}}{4}\right)\right]^{k}$$

On pose ensuite, afin d'alléger les notations : $$\left(x+\frac{b}{2}\right)=X \quad \text { et } \quad c-\frac{b^{2}}{4}=K^{2}>0$$

car le discriminant du dénominateur est toujours négatif. Dans ces conditions on peut écrire le terme sous la forme : $$\frac{B x+C}{\left(x^{2}+b x+c\right)^{k}}=\frac{B\left(x+\frac{b}{2}\right)+C-B \frac{b}{2}}{\left[\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}+\left(c-\frac{b}{4}\right)^{2}\right]^{k}}=\frac{B X+D}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}$$ après avoir posé \(D=C-B \frac{b}{2}\); on est conduit à intégrer deux termes plus simples : $$\int \frac{(B x+C) \mathrm{d} x}{\left(x^{2}+b x+c\right)^{k}}=B \int \frac{X \mathrm{~d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}+D \int \frac{\mathrm{~d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}$$

Considérons tout d'abord le cas où \(k=1\) qui correspond aux racines complexes simples de \(h(x)\), on a : $$I=I_{1}+I_{2}=B \int \frac{X \mathrm{~d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)}+\left(C-B \frac{b}{2}\right) \int \frac{\mathrm{d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)}$$

Pour \(I_{1}\) on a immédiatement : $$I_{1}=\int \frac{X \mathrm{~d} X}{X^{2}+K^{2}}=\frac{1}{2} \int \frac{2 X \mathrm{~d} X}{X^{2}+K^{2}}=\frac{1}{2} \ln \left[X^{2}+K^{2}\right]$$ tandis que \(I_{2}\) a pour valeur : $$I_{2}=\int \frac{\mathrm{d} X}{X^{2}+K^{2}}=\frac{1}{K} \int \frac{\mathrm{~d}(X / K)}{1+(X / K)^{2}}=\frac{1}{K} \operatorname{Arctg} \frac{X}{K}$$ d'où : $$I=\frac{B}{2} \ln \left[X^{2}+K^{2}\right]+\frac{\left(C-B \frac{b}{2}\right)}{K} \operatorname{Arctg} \frac{X}{K}+C_{1}$$ - Et enfin le dernier cas, le cas le plus difficile où \(k \neq 1\) qui correspond aux racines complexes multiples de \(h(x)\), la première intégrale donne : $$\int \frac{X \mathrm{~d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}=\frac{1}{2} \int \frac{2 X \mathrm{~d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}=\frac{1}{2(1-k)} \frac{1}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k-1}}$$ quant à la seconde, elle s'intègre par parties, écrivons : $$I_{k}=\int \frac{\mathrm{d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}} \text { avec } \begin{cases}U=1 /\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}, & \mathrm{~d} U=\frac{-2 k X \mathrm{~d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k+1}} \\ \mathrm{~d} V=\mathrm{d} X, & V=X\end{cases}$$ $$\begin{aligned} & I_{k}=\frac{X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}+2 k \int \frac{X^{2} \mathrm{~d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k+1}} \quad \text { or } \quad X^{2}=\left(X^{2}+ K^2) - K^2\right. \\ & I_{k}=\frac{X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}+2 k \int \frac{\mathrm{~d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}-2 k K^{2} \int \frac{\mathrm{~d} X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k+1}} \end{aligned}$$

On reconnaît dans cette expression : $$I_{k}=\frac{X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}+2 k I_{k}-2 k K^{2} I_{k+1}$$ ce qui conduit à la relation de récurrence : $$2 k K^{2} I_{k+1}=(2 k-1) I_{k}+\frac{X}{\left(X^{2}+K^{2}\right)^{k}}$$

qui permet de calculer \(I_{k+1}\) si l'on connaît \(I_{k}\). Ainsi de proche en proche on peut calculer toutes les intégrales intermédiaires jusqu'à \(k=1\) qui correspond à une intégrale déjà calculée.

Dans la pratique les calculs sont en général pas si compliqués, pas de panique😅.

Récapitulons le processus d'intégration.

1. On met la fraction rationnelle sous forme régulière, puis on décompose en éléments simples.
2. Suivant la nature du dénominateur \(h(x)\) ces éléments simples seront de \(1^{\text {re }}\) espèce (racines réelles simples ou multiples) ou de seconde espèce (racines complexes simples ou multiples).
3. Enfin on intègre les éléments un à un.

Tableau récapitulatif

Facteurs de \(h(x)\)	Eléments de \(R(x) / h(x)\)
\(x-a_{i}\)	\(\frac{A_{1}}{x-a_{1}}+\frac{A_{2}}{x-a_{2}}+\cdots+\frac{A_{n}}{x-a_{n}}\)
\((x-a)^{n}\)	\(\frac{A_{1}}{x-a}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{2}}+\cdots+\frac{A_{n}}{(x-a)^{n}}\)
\(\left(x^{2}+b x+c\right)^{n}\)	\(\frac{B_{1} x+C_{1}}{\left(x^{2}+b x+c\right)}+\frac{B_{2} x+C_{2}}{\left(x^{2}+b x+c\right)^{2}}+\cdots+\frac{B_{n} x+C_{n}}{\left(x^{2}+b x+c\right)^{n}}\)

Voyons quelques exemples

Exemple 1 : calcul de l'intégrale \(I=\int \frac{(x-5) \mathrm{d} x}{x^{2}+2 x-3}\)

La fraction est régulière puisque le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. Ce dernier \(\left(x^{2}+2 x-3\right)\) admet deux racines réelles distinctes \(x_{1}=1\) et \(x_2=-3\).

La fraction peut donc s'écrire sous la forme : $$\frac{x-5}{x^{2}+2 x-3}=\frac{x-5}{(x-1)(x+3)}=\frac{A_{1}}{(x-1)}+\frac{A_{2}}{(x+3)}$$ pour évaluer \(A_{1}\) et \(A_{2}\) réduisons au même dénominateur, il vient : $$\frac{x-5}{x^{2}+2 x-3}=\frac{A_{1}(x+3)+A_{2}(x-1)}{(x-1)(x+3)}=\frac{x\left(A_{1}+A_{2}\right)+3 A_{1}-A_{2}}{(x-1)(x+3)}$$ d'où : $$(x-5)=\left(A_{1}+A_{2}\right) x+3 A_{1}-A_{2}$$ cette relation est une identité c'est-à-dire quelle reste valable quelque soit \(x\); en identifiant il vient tout de suite : $$\begin{cases} A_{1}+A_{2}=1 & \\ 3 A_{1}-A_{2}=-5 & \end{cases}$$

d'où $$\begin{cases} A_{1}=-1 \\ A_{2}=2 \end{cases}$$

Revenons à l'intégrale \(I\), elle s'écrit: $$I=\int \frac{(x-5) \mathrm{d} x}{x^{2}+2 x-3}=-\int \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)}+2 \int \frac{\mathrm{~d} x}{(x+3)}$$ soit : $$I=-\ln |x-1|+2 \ln |x+3|+C$$

Lorsque toutes les intégrales sont de forme logarithmique il est préférable d'écrire la constante \(C\) dans la même forme en posant \(C=\ln \lambda\) où \(\lambda\) est aussi une constante arbitraire, ainsi : $$I=\ln \left|\frac{\lambda(x+3)^{2}}{(x-1)}\right|$$

Exemple 2: calcul de \(I=\int \frac{\left(2 x^{3}+3 x^{2}+5 x+1\right) \mathrm{d} x}{x^{2}+2 x+1}\)

Ici, nous avons un cas différent : la fraction rationnelle \(g(x) / h(x)\) n'est pas régulière, il convient donc d'effectuer la division polynômiale du numérateur par le dénominateur.

La disposition pratique de cette division est suffisamment explicite :

$$ $$\begin{array}{r|l} g(x) & 2x^3 + 3x^2 + 5x + 1 \\ & \hspace{-15pt} - 2x h(x) \quad -(2x^3 + 4x^2 + 2x) \\ R(x) & -x^2 + 3x + 1 \\ & \hspace{-15pt} -(-1) h(x) \quad -(-x^2 - 2x - 1) \\ R(x) & +5x + 2 \end{array}$$

$$\frac{x^2 + 2x + 1}{2x - 1}$$ $$

\[ \begin{array}{rr|l} g(x) & 2 x^{3}+3 x^{2}+5 x+1 & x^{2}+2 x+1 \\ n & \frac{-\left(2 x^{3}+4 x^{2}+2 x\right)}{-x^{2}+3 x+1} & 2 x-1 \\ R(x) & -\left(-x^{2}-2 x-1\right) & \\ -(-1) h(x) & +5 x+2 & \end{array} \]

La fraction initiale s'écrit maintenant : $$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=P(x)+\frac{R(x)}{h(x)}=2 x-1+\frac{5 x+2}{x^{2}+2 x+1}$$ d'où $$I=\left(x^{2}-x\right)+\int \frac{5 x+2}{x^{2}+2 x+1} \mathrm{~d} x$$

Le numérateur \(h(x)\) admet \(x=-1\) pour racine double, ainsi : $$\begin{aligned} & \frac{5 x+2}{(x+1)^{2}}=\frac{A_{1}}{(x+1)}+\frac{A_{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{A_{1}(x+1)+A_{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{A_{1} x+A_{1}+A_{2}}{(x+1)^{2}} \end{aligned}$$ En identifiant les coefficients on obtient: $$\begin{aligned} & \qquad 5 x+2=A_{1} x+A_{1}+A_{2} \begin{cases}A_{1}=5 \\ A_{1}+A_{2}=2\end{cases} \end{aligned}$$ Et donc :

\[ \begin{cases} & A_{1}=5 \\ & A_{2}=-3 \end{cases} \]

Finalement on peut reécrire \(I\) de la façon suivante :

\[ I=\int(2 x-1) \mathrm{d} x+5 \int \frac{\mathrm{~d} x}{x+1}-3 \int \frac{\mathrm{~d} x}{(x+1)^{2}} \]

Soit : $$I=x^{2}-x+5 \ln |x+1|+\frac{3}{x+1}+C$$

Exemple 3: calcul de \(I=\int \frac{\mathrm{d} x}{3 x^{2}+2 x+1}\)

Le dénominateur \(h(x)=3 x^{2}+2 x+1\) n'admet pas de racine réelle. Esayons de le mettre sous forme canonique : $$h(x)=3\left[\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}+(2 / 9)\right]=3\left(X^{2}+K^{2}\right)$$ d'où : $$I=(1 / 3) \int \frac{\mathrm{d} X}{X^{2}+K^{2}}=(1 / K) \operatorname{Arctg} \frac{X}{K}+C$$ En revenant aux notations initiales on peut écrire que :

\[ I=\frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{Arctg} \frac{(3 x+1)}{\sqrt{2}}+C \]

Exemple 4 : calcul de \(I=\int \frac{2 x+1}{3 x^{2}+2 x+1} \mathrm{~d} x\)

Le dénominateur est le même que précédemment, facile 🤗. On va donc modifier la forme du numérateur pour faire apparaître la dérivée de \(h(x)\).

C'est une technique très fréquente, il est bon de la retenir 🥸

\[ I=\int \frac{(2 / 6)(6 x+2)+1 / 3}{3 x^{2}+2 x+1} \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \int \frac{(6 x+2) \mathrm{d} x}{3 x^{2}+2 x+1}+\frac{1}{3} \int \frac{\mathrm{~d} x}{3 x^{2}+2 x+1} \]

La seconde intégrale est déjà connue, quand à la première son intégrande est de la forme \(du/u\), on peut donc écrire :

\[ I=(1 / 3) \ln \left|3 x^{2}+2 x+1\right|+\frac{1}{3 \sqrt{2}} \operatorname{Arctg} \frac{(3 x+1)}{\sqrt{2}}+C \]

Exemple 5 : calcul de \(I=\int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+2 x}\)

Le dénominateur a une racine réelle \(x=0\) et une racine complexe double, on peut donc développer de la façon suivante :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{x^{3}+2 x} & =\frac{1}{x\left(x^{2}+2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+2}=\frac{A x^{2}+2 A+B x^{2}+C x}{x\left(x^{2}+2\right)} \\ & =\frac{(A+B) x^{2}+C x+2 A}{x\left(x^{2}+2\right)} \end{aligned} \]

En identifiant les numérateurs on obtient : $$1 \equiv(A+B) x^{2}+C x+2 A\left\{\begin{array}{rl} (A+B)=0 & \\ C=0 & A=(1 / 2) \\ 2 A=1 & B=-1 / 2 \end{array}\right.$$ d'où : $$I=\int \frac{\mathrm{d} x}{x^{3}+2 x}=\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{~d} x}{x}-\frac{1}{2} \int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^{2}+2}=\frac{1}{2} \ln |x|-\frac{1}{4} \ln \left(x^{2}+2\right)+\ln \lambda$$ soit : $$I=\ln \left|\frac{\lambda x^{1 / 2}}{\left(x^{2}+2\right)^{1 / 4}}\right|$$

3.4. Intégration des fonctions trigonométriques

Ce sont les fonctions de la forme générale \(y=f(\sin x, \cos x)\). Pour les intégrer on peut, comme vous vous en doutez, utiliser les techniques énoncés ci-dessus.

Cependant les relations élémentaires de la trigonométrie, les relations de transformation et leurs généralisations offrent des méthodes particulières.

Exemple 1 : calcul de \(I=\int \sin ^{2} x \cos ^{3} x \mathrm{~d} x\)

Comme \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\), on écrit cette intégrale : $$I=\int \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x \cdot \cos x \mathrm{~d} x=\int \sin ^{2} x\left(1-\sin ^{2} x\right) \cos x \mathrm{~d} x$$

on pose alors \(U=\sin x\) d'où \(\mathrm{d} U=\cos x \mathrm{~d} x\), il vient :

\[ I=\int U^{2}\left(1-U^{2}\right) \mathrm{d} U=\int\left(U^{2}-U^{4}\right) \mathrm{d} U=\frac{U^{3}}{3}-\frac{U^{5}}{5}+C \]

soit :

\[ I=\frac{1}{3} \sin ^{3} x-\frac{1}{5} \sin ^{5} x+C \]

Exemple 2 : calcul de \(I=\int \sin x \cos 3 x \mathrm{~d} x\)

Ici on va utiliser la relation de transformation suivante : $$\sin x \cos 3 x=\frac{1}{2}[\sin (x+3 x)+\sin (x-3 x)]$$ d'où : $$I=\int \sin x \cos 3 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int[\sin 4 x-\sin 2 x] \mathrm{d} x$$ soit : $$I=-\frac{1}{8} \cos 4 x+\frac{1}{4} \cos 2 x+C$$

Exemple 3 : calcul de \(I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos x}\)

Ici il suffit de multiplier le haut et bas par \(\cos x\) on obtient alors :

\[ I=\int \frac{\cos x \mathrm{~d} x}{\cos ^{2} x}=\int \frac{\cos x \mathrm{~d} x}{1-\sin ^{2} x} \]

Encore une fois on utilise le procédé qui consiste à faire apparaître au numérateur la dérivée d'une fonction présente au dénominateur.

On va poser la fraction rationnelle suivante : $$I=\int \frac{\mathrm{d} U}{1-U^{2}}=A_{1} \int \frac{\mathrm{~d} U}{1+U}+A_{2} \int \frac{\mathrm{~d} U}{1-U}$$ par identification (comme vu plus haut) on obtient : \(A_{1}=A_{2}=(1 / 2)\), dès lors : $$I=\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{~d} U}{1+U}+\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{~d} U}{1-U}=\frac{1}{2} \ln |1+U|-\frac{1}{2} \ln |1-U|+\ln \lambda$$

et donc :

\[ I=\ln \left|\lambda \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\right| \]

3.4.1. Méthode de l'arc moitié

Si les méthodes précédentes ne conduisent pas à des intégrations faciles, une méthode plus générale et souvent plus laborieuse peut être utilisée.

Propriété

Elle consiste à transformer la fonction \(f(\sin x, \cos x)\) étudiée en une fonction de la variable \(t=\operatorname{tg}(x / 2)\). Rappelons que $$\sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}}, \quad \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \quad \mathrm{~d} x=\frac{2 \mathrm{~d} t}{1+t^{2}}$$

Ce qui est très pratique pour retrouver des formes de fonctions bien connues. 🤓 Voici une proposition de reformulation enrichie et clarifiée :

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Exemple 1 : Calcul de l’intégrale \(I = \int \frac{dx}{a \sin x + b \cos x}\)**

Dans de nombreux problèmes de physique (par exemple, l’étude des oscillations harmoniques), on est amené à considérer des expressions du type \(a \sin x + b \cos x\). Il se trouve que cette somme de sinus et cosinus peut représenter le mouvement le plus général d’un oscillateur harmonique simple comme ilustré dans l'animation ci-dessous.

Pour aborder de tels cas, il est souvent utile de recourir à la transformation suivante :

Réécriture en une unique fonction sinus
On exploite l’identité qui permet de réécrire la somme \(a \sin x + b \cos x\) sous la forme
$$A \sin(x - \varphi),$$
où l’on définit : $$A = \sqrt{a^2 + b^2} \quad\text{et}\quad \tan \varphi = -\frac{b}{a}.$$

Cette manipulation s’appuie sur l’idée qu’une combinaison linéaire de \(\sin x\) et \(\cos x\) se ramène toujours à une seule fonction sinus (ou cosinus) assortie d’un décalage de phase.

Dans notre intégrale, cela donne donc :
$$I = \int \frac{dx}{a \sin x + b \cos x} = \int \frac{dx}{A \sin(x - \varphi)} = \frac{1}{A} \int \frac{dx}{\sin(x - \varphi)}.$$

Utilisation du changement de variable magique: \(t=\operatorname{tg}(x / 2)\)
Pour résoudre l’intégrale \(\int \frac{dx}{\sin(x - \varphi)}\), on emploie le changement de variable classique :
$$t = \tan \left(\frac{x - \varphi}{2}\right)$$

En substituant cela dans l’intégrale, on obtient alors :
$$I = \frac{1}{A} \int \frac{\tfrac{2\,dt}{1+t^2}}{\tfrac{2\,t}{1+t^2}} = \frac{1}{A} \int \frac{dt}{t}.$$

Résolution finale
L’intégrale \(\int \frac{dt}{t}\) est une forme logarithmique tel que :
$$\int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C,$$

où \(C\) est la constante d’intégration (parfois réécrite \(\ln|\lambda|\) pour regrouper toute constante dans un seul logarithme).

En remplaçant \(t\) par \(\tan\bigl(\tfrac{x - \varphi}{2}\bigr)\), on obtient :
$$I = \frac{1}{A} \ln \left|\lambda \,\tan \left(\frac{x - \varphi}{2}\right)\right|.$$
La constante \(\lambda\) est là pour englober tous les facteurs constants issus du changement de variable et de l’intégration.

Jeretiens

Cette technique est très fréquente en analyse et en physique, il est bon de la garder en tête. 🤓

Exemple 2 : calcul de \(I=\int \frac{\mathrm{d} x}{2 \sin x+\cos x+3}\)

Toujours avec \(t=\operatorname{tg}(x / 2)\), par cette méthode on se ramène à l'intégration de la fraction suivante : $$I=\int \frac{2 \mathrm{~d} t}{4 t+1-t^{2}+3+3 t^{2}}=\int \frac{\mathrm{d} t}{t^{2}+2 t+2}=\int \frac{\mathrm{d} t}{(t+1)^{2}+1}$$ soit; $$I=\operatorname{Arctg}\left[\operatorname{tg} \frac{x}{2}+1\right]+C$$

3.4.2. Méthode de la formule d'Euler

Définition

La formule d’Euler, considérée comme l’une des plus belles et des plus importantes en mathématiques, s'écrit tel que : $$e^{jx} = \cos x + j\,\sin x,$$

où \(j\) (ou \(i\) suivant la littérature mathématique que vous consultez) est l’unité imaginaire (\(j^2 = -1\)).⁵

Elle repose sur l’observation que l’exponentielle complexe décrit une rotation sur le plan complexe. De fait, \(e^{jx}\) s’interprète comme un point de module 1 tournant autour de l’origine avec un angle \(x\).

Sur le plan physique et technique (électrotechnique, traitement du signal, propagation d’ondes, etc.), cette relation est très pratique pour représenter des signaux sinusoïdaux sous forme d’exponentielles complexes.

Elle permet notamment de calculer rapidement les intégrales de la forme : $$I=\int e^{a x} \cos b x d x$$

En effet, il suffit d'associer à cette intégrale, l'intégrale : $$J=\int e^{a x} \sin b x d x$$ et d'appliquer la formule d'Euler ; il vient : $$\begin{aligned} & I+j J=\int e^{a x} \cos b x \mathrm{~d} x+j \int e^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x=\int e^{a x}(\cos b x+j \sin b x) \mathrm{d} x \\ & \quad I+j J=\int e^{a x} e^{j b x} \mathrm{~d} x=\int e^{(a+j b) x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a+j b} e^{(a+j b) x}+C \end{aligned}$$

Il suffit alors de séparer les parties réelle et imaginaire et d'identifier. On multiplie haut et bas par le complexe conjugué \((a-j b)\) et on obtient : $$I+j J=\frac{a-j b}{a^{2}+b^{2}} e^{a x}(\cos b x+j \sin b x)+C$$ $$I+j J=\frac{e^{a x}}{a^{2}+b^{2}}[a \cos b x+b \sin b x+j(a \sin b x-b \cos b x))+C$$ soit finalement : $$I=\frac{e^{a x}}{a^{2}+b^{2}}(a \cos b x+b \sin b x)+C_{1}$$ et $$J=\frac{e^{a x}}{a^{2}+b^{2}}(a \sin b x-b \cos b x)+C_{2}$$

3.5. Autres procédés d'intégration

Comme dit plus haut, il n'existe pas de méthode génériques qui permets d'intégrer toute les fonctions malheureusement. Il faut donc retenir quelques formes classiques. 😅

3.5.1. Intégration des fonctions irrationnelles du type

\[ I=\int f\left(x, \sqrt{a x^{2}+b x+c}\right) d x \]

D'une manière générale sur ces cas de se type, il faut tout d'abord décomposer le trinôme sous sa forme canonique tel que :

\[ a x^{2}+b x+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\right)\right] \]

et poser :

\[ \left(x+\frac{b}{2 a}\right)=X; \quad \frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}}= \pm A^{2} $$ d'où : $$ a x^{2}+b x+c=a\left[X^{2} \pm A^{2}\right] \]

Deux cas se présentent suivant le signe du coefficient \(a\) : - si \(a>0\) \(\sqrt{a x^{2}+b x+c}=\alpha \sqrt{X^{2} \pm A^{2}}\) avec \(\alpha=\sqrt{a}\); - si \(a<0\) \(\sqrt{a x^{2}+b x+c}=\alpha \sqrt{A^{2} \pm X^{2}}\) avec \(\alpha=\sqrt{-a}\).

Jeretiens

Comme d'habitude on revient ainsi à des intégrales connues ou à des intégrales qu'on peut résoudre par changement de variable.

Exemple : calcul de \(I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{-x^{2}+6 x+7}}\)

Toujours le même reflexe : mettre le dénominateur sous forme canonique tel que :

\[ -x^{2}+6 x+7=-(x-3)^{2}+16 \quad \text { d'où } \quad I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{16-(x-3)^{2}}} \]

On pose alors \((x-3)=4 X\), d'où \(\mathrm{d} x=4 \mathrm{~d} X\). L'intégrale devient : $$I=\int \frac{4 \mathrm{~d} X}{4 \sqrt{1-X^{2}}}=\int \frac{\mathrm{d} X}{\sqrt{1-X^{2}}}=\operatorname{Arcsin} X+C$$ soit : $$I=\operatorname{Arcsin} \frac{x-3}{4}+C$$

3.5.2. Intégration par récurrence

Nous avons déjà rencontré ce procédé dans l'intégration des éléments simples de seconde espèce résultants de la décomposition des fractions rationnelles. Nous en donnerons plusieurs exemples par la suite. Il s'utilise surtout dans le calcul des intégrales du type : $$\int \sin ^{n} x \mathrm{~d} x \quad \text { et } \quad \int x^{n} e^{-x} \mathrm{~d} x$$

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4. INTÉGRALE DÉFINIE

4.1. Définition

Soit \(A B\) la courbe représentative de la fonction \(y=f(x)\) sur l'intervalle \((a, b)\), cherchons à calculer l'aire de la surface comprise entre l'arc de courbe \(A B\), l'axe \(O x\) et les droites \(x=a\) et \(x=b\).

Si dans l'intervalle \((a, b)\), \(f(x)=\) Cte \(=c\) on a : $$\text { Aire } S=c(b-a)$$

Si \(f(x)\) est une fonction variable, \(S\) est plus difficile à calculer, cependant on peut obtenir une valeur approchée en divisant l'intervalle \((a, b)\) en \(N\) intervalles égaux et en faisant la somme des aires des petits rectangles ainsi obtenus : $$\begin{aligned} S_{N}= & \left(x_{1}-a\right) f(a)+\left(x_{2}-x_{1}\right) f\left(x_{1}\right) \\ & +\cdots+\left(x_{i}-x_{i-1}\right) f\left(x_{i-1}\right) \\ & +\cdots+\left(b-x_{N-1}\right) f\left(x_{N-1}\right) \end{aligned}$$

Définition

\[ S_{N}=\sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i-1}\right) \cdot\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=\sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i-1}\right) \mathrm{d} x_{i-1} $$ $S_{N}$ est une valeur approchée de l'aire $S$ cherchée. La différence $S-S_{N}$ sera d'autant plus petite que l'escalier $A C_{1} C_{2} C_{3} \ldots C_{N}$ se confondra plus avec la courbe $A B$, pour ce faire il suffirait de choisir $N$ le plus grand possible. On dira que $S_{N}$ tend vers $S$ lorsque $N$ tend vers l'infini, ou encore on écrira: $$ \lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i-1}\right) \mathrm{d} x_{i-1}=S \]

Par définition l'aire \(S\) est appelée "intégrale définie» de la fonction \(f(x)\) entre les bornes \(a\) et \(b\). « \(a\) » est dite «borne inférieure» et « \(b\) » est dite «borne supérieure». On la note : $$S=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$$

Au lieu d'envisager \(A C_{1} C_{2} C_{3} \ldots C_{N}\) on aurait pu tout aussi bien considérer l'escalier \(A D_{1} D_{2} D_{3} \ldots D_{N}\) et l'aire comprise entre cet escalier, l'axe \(O x\) et les droites \(x=a\) et \(x=b\), serait égale à : $$S_{N}^{\prime}=\sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}\right) \mathrm{d} x_{i-1}$$

On aurait alors \(S_{N}<S<S_{N}^{\prime}\) et quand \(N \rightarrow \infty, S_{N}^{\prime} \rightarrow S\). On a donc également: $$S=\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{N} f\left(x_{i}\right) \mathrm{d} x_{i-1}=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$$

• lorsque \(N\) tend vers l'infini la largeur des intervalles dxit tend vers zéro. Il convient de toujours se souvenir qu'une intégrale définie est une somme infinie sur une succession d'intervalles \(\mathrm{d} x_{i}\) infiniment petits. Il est tout à fait indifférent que ces intervalles soient ou non égaux entre eux ;
• attention pour qu'une fonction \(f(x)\) soit intégrable sur l'intervalle \((a, b)\), il est nécessaire que cette fonction soit bornée sur \((a, b)\).

4.2. Propriétés de l'intégrale défine

4.2.1. Symétrie

\[ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x \]

Si l'on permute les bornes d'intégration \(a\) et \(b\) on change l'ordre du découpage, les \(dx_{i}\) deviennent des \(-\mathrm{d} x_{i}\) et l'intégrale change de signe.

4.2.2. Additivité

\[ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x \]

L'aire d'intégration reste inchangée si l'on divise l'intervalle \((a, b)\) en deux intervalles adjacents \((a, c)\) et \((c, b)\). D'une manière générale la règle de Chasles s'applique aux intégrales définies.

4.2.3. Multiplication par un scalaire \(\lambda\)

\[ \int_{a}^{b} \lambda f(x) \mathrm{d} x=\lambda \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \]

4.2.4. Distributivité par rapport à l'addition

\[ \int_{a}^{b}[A f(x)+B g(x)] \mathrm{d} x=A \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x+B \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \]

En revanche il faut souligner qu'il n'existe pas de distributivité par rapport au produit de deux fonctions. C'est là une erreur fréquente et grave.

Définition

L'intégrale du produit de deux fonctions n'est pas le produit des intégrales de ces deux fonctions. On démontre l'inégalité de Schwartz : $$\left|\int_{a}^{b} f(x) \cdot g(x) \mathrm{d} x\right| \leq \sqrt{\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x}$$

4.3. Calcul des intégrales définies

L'intégrale définie se calcule au moyen d'une primitive. Pour le montrer considérons lintégrale définie comme une fonction de sa borne supérieure :

\[ \int_{a}^{x} f(t) d t=\phi(x) \]

et cherchons si elle admet une dérivée. Donnons un accroissement \(\Delta x\), il lui correspond un accroissement :

\[ \Delta \phi(x)=\phi(x+\Delta x)-\phi(x) \]

or,

\[ \Delta \phi(x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{x}^{a} f(t) \mathrm{d} t \]

c'est-à-dire :

\[ \Delta \phi(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t \]

Formons maintenant le rapport \(\Delta \phi(x) / \Delta x\), il vient :

\[ \frac{\Delta \phi(x)}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t \]

Si la fonction \(f(t)\) est continue dans l'intervalle contenant \(\Delta x\), il existe entre \(x\) et \(\Delta x\) un nombre \(\zeta\) tel que:

$$\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t=\Delta x f(\zeta)$$ lorsque \(\Delta x\) tend vers zéro, \(x+\Delta x\) tend vers \(x\) et il en est de même pour \(\zeta\).

D'où : $$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta \phi(x)}{\Delta x}=\phi^{\prime}(x)=f(x)$$

\(\phi(x)\) est donc une primitive de \(f(x)\). Supposons que \(F(x)\) soit une autre primitive de \(f(x)\), on a donc : $$\begin{gathered} F^{\prime}(x)=\phi^{\prime}(x)=f(x) \\ F^{\prime}(x)-\phi^{\prime}(x)=0 \\ \phi(x)=F(x)+C \end{gathered}$$ \(F(x)\) ne diffère de \(\phi(x)\) que par une constante \(C\), et : $$\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=F(x)+C$$

En faisant \(x=a\), il vient : $$\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t=F(a)+C=0$$ d'où \(C=-F(a)\). On arrive ainsi à la conclusion suivante :

Définition

Si \(F(x)\) est une primitive quelconque de \(f(x)\) et si \(f(x)\) est bornée sur l'intervalle \((a, b)\), l'intégrale définie sur \((a, b)\) a pour valeur : $$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)=[F(x)]_{x=a}^{x=b}$$

L'intégrale définie ayant pour valeur la différence des valeurs prises par la primitive aux bornes d'intégration \(a\) et \(b\).

Le calcul d'une intégrale définie se ramène à la recherche de cette primitive. On utilise alors les procédés d'intégration classiques.

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Exemple 1 : calcul de \(I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{x \ln x}\)

On effectue le changement de variable \(: \ln x=U\) d'où \(\mathrm{d} U=\mathrm{d} x / x\) et l'intégrale devient alors :

\[ I=\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{~d} U}{U}=[\ln |U|]_{U=1}^{U=2}=\ln 2 \]

Deux remarques importantes s'imposent :

• Il ne faut pas oublier d'appliquer le changement de variable aux bornes d'intégration, qui prennent ainsi des valeurs différentes, ici : $$\begin{array}{lll} \text { Pour } & x=e, & U=\ln e=1 \\ \text { Pour } & x=e^{2}, & U=\ln e^{2}=2 \end{array}$$
• le résultat de l'intégration d'une intégrale définie dépend de l'intervalle d'intégration. Il a une valeur numérique qui dépend des unités choisies pour exprimer la variable et la fonction.

Exemple n 2 : les intégrales de Wallis

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale de Wallis est une intégrale faisant intervenir une puissance entière de la fonction sinus. Les intégrales de Wallis ont été introduites par John Wallis, notamment pour développer le nombre \(\pi\) en un produit infini de rationnels : le produit de Wallis.⁶ Ce sont des intégrales de la forme :

\[ I_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{\mathrm{n}} x \mathrm{~d} x \]

On écrit l'intégrale \(I_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{n-1} x \sin x \mathrm{~d} x\) et on intègre par parties en posant :

\[ \begin{array}{lll} U=\sin ^{n-1} x & \text { d'où } & \mathrm{d} U=(n-1) \cos x \sin ^{n-2} x \mathrm{~d} x \\ \mathrm{~d} V=\sin x \mathrm{~d} x & \text { d'où } & V=-\cos x \end{array} \]

On peut donc écrire :

\[ I_{n}=\left[-\sin ^{n-1} x \cos x\right]_{0}^{\pi / 2}+\int_{0}^{\pi / 2}(n-1) \cos ^{2} x \sin ^{n-2} x \mathrm{~d} x \]

Le premier terme entre crochet est nul du fait de la présence de \(\sin x\) et de \(\cos x\) qui s'annulent respectivement pour \(x=0\) et \(x=\pi / 2\). Il reste donc : $$I_{n}=(n-1) \int_{0}^{\pi / 2}\left(1-\sin ^{2} x\right) \sin ^{n-2} x d x$$

On reconnait :

\[ I_{n}=(n-1) \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{n-2} x \mathrm{~d} x-(n-1) \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x $$ soit : $$ I_{n}=(n-1) I_{n-2}-(n-1) I_{n} \]

On aboutit donc à une relation de récurrence entre \(I_{n}\) et \(I_{n-2}\), $$n I_{n}=(n-1) I_{n-2}$$ qui permet de relier de proche en proche \(I_{n}\) à \(I_{0}\) ou à \(I\) suivant que \(n\) est pair ou impair. Traitons séparément les deux cas :

• Si \(n\) est pair, posons \(n=2 p\), on a successivement : $$\begin{array}{ccc} 2 p I_{2 p} & = & (2 p-1) I_{2 p-2} \\ (2 p-2) I_{2 p-2} & = & (2 p-3) I_{2 p-4} \\ (2 p-4) I_{2 p-4} & = & (2 p-5) I_{2 p-6} \\ \vdots & & \vdots \\ 2 I_{2} & = & I_{0} \end{array}$$

Après multiplication successives membres à membres on trouve : $$I_{2 p}=\frac{1.3 .5 .7 \ldots(2 p-3)(2 p-1)}{2.4 .6 .8 \ldots(2 p-2)(2 p)} I_{0}$$ sachant que : $$I_{0}=\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{0} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi / 2} \mathrm{~d} x=[x]_{\substack{x=0}}^{x=\pi / 2}=\pi / 2$$

Donc pour \(n\) pair l'intégrale de Wallis prend la valeur : $$I_{2 p}=\frac{1 \cdot 3.5 .7 \ldots(2 p-3)(2 p-1)}{2.4 .6 .8 \ldots(2 p-2)(2 p)} \pi / 2$$

• Pour \(n\) impair on pose \(n=2 p+1\), un développement analogue conduit à : $$I_{2 p+1}=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots(2 p-2)(2 p)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots(2 p-1)(2 p+1)} I_{1}$$ mais \(I_{1}\) a pour valeur : $$I_{1}=\int_{0}^{\pi / 2} \sin x \mathrm{~d} x=[-\cos x]_{0}^{\pi / 2}=1$$ finalement : $$I_{2 p+1}=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots(2 p)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots(2 p+1)}$$

Exemple 3 : calcul de \(I=\int_{6}^{8} \frac{\mathrm{~d} x}{x^{2}-7 x+10}\)

Ici on va chercher la primitive de cette fraction rationnelle, le dénominateur admet deux racines réelles simples comme vu dans le chapitre précédent on va utiliser la décomposition :

\[ x^{2}-7 x+10=(x-2)(x-5) \]

Et donc on peut réécrire la fraction tel que :

\[ \begin{aligned} & \frac{1}{(x-2)(x-5)}=\frac{A_{1}}{(x-2)}+\frac{A_{2}}{(x-5)}=\frac{A_{1}(x-5)+A_{2}(x-2)}{(x-2)(x-5)} \\ & =\frac{\left(A_{1}+a_{2}\right) x-5 A_{1}-2 A_{2}}{(x-2)(x-5)} \end{aligned} \]

par identification des numérateurs, il vient :

\[ A_{1}=-1 / 3 \quad \text { et } \quad A_{2}=+1 / 3 \]

d'où :

\[ I=-(1 / 3) \int_{6}^{8} \frac{\mathrm{~d} x}{x-2}+(1 / 3) \int_{6}^{8} \frac{\mathrm{~d} x}{x-5}=(1 / 3)\left[\ln |x-5|-\left.\ln |x-2|\right|_{x=6} ^{x=8}\right. \]

soit :

\[ I=(1 / 3)\left[\ln \left|\frac{x-5}{x-2}\right|\right]_{x=6}^{x=8}=(1 / 3)\left[\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{1}{4}\right] \]

Enfin avec les formules des logarithme on peut écrire :

\[ I=\frac{1}{3} \ln 2 \]

Par la suite les intégrales définies seront utilisées pour calculer des surfaces et des volumes ; il conviendra alors de faire suivre le résultat numérique des expressions qu'il faut, souvent des "unités de surface" ou "unités de volume".

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1. Histoire du calcul infinitésimal :https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus ↩

2. The History of the Calculus - Carl B. Boyer : https://archive.org/details/the-history-of-the-calculus-carl-b.-boyer/page/n9/mode/2up ↩

3. Page wikipedia du Calcul infinitésimal : https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus ↩

4. https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_de_Lebesgue ↩

5. Formule d'Euler page wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Euler ↩

6. Intégrale de Wallis page Wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_de_Wallis ↩