🇫🇷 DIFFÉRENTIELLE D'UNE FONCTION À UNE VARIABLE

5. DIFFÉRENTIELLE D'UNE FONCTION À UNE VARIABLE

En mathématiques, le calcul différentiel est un sous-domaine de l'analyse qui étudie les variations locales des fonctions / à leur taux de variation instantané. C'est l'un des deux domaines traditionnels de l'analyse, l'autre étant le calcul intégral, utilisé notamment pour calculer l'aire sous une courbe³.

Autrement dit, c’est l’étude de la dérivation et de tout ce qui en découle (dérivée, différentielle, linearisation, etc.). Il sert à analyser localement le comportement d’une fonction, à mesurer ses pentes, à comprendre comment elle varie quand on modifie ses variables, etc.

Dans l'histoire occidentale, les premières traçe de calcul différentiel se trouve en Grèce antique des le \(IV^è\) siècle avant JC Avec les idées fondamentales sur les tangentes explorées par Euclide, Archimède, Eudoxus et Apollonius⁴.

Archimède a également utilisé ces méthodes mais principalement pour étudier les surfaces et les volumes.

Au \(XII^è\) siècle, le mathématicien indien Bhāskara II a fait progresser l'utilisation des infinitésimaux pour calculer les taux de changement, introduisant des concepts clés qui correspondent au calcul différentiel moderne.

Le cadre moderne du calcul est apparu à la fin du \(XVII^è\) siècle avec Newton et Leibniz. S'appuyant sur les travaux antérieurs de Fermat, Barrow, Descartes et d'autres, Newton a appliqué la différenciation à la physique, tandis que Leibniz a introduit une grande partie de la notation encore utilisée aujourd'hui.

Le \(XIX^è\) siècle est quant à lui le siècle de la formalisation en s'apuyant sur des fondements mathématiques rigoureux grâce aux travaux de Cauchy, Riemann et Weierstrass, qui ont étendu la différenciation à des dimensions supérieures et au plan complexe.

5.1. Définition

Soit \(y=f(x)\) une fonction de \(x\), en tout point où elle est dérivable, la différentielle de \(y\) est par définition :

\[\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\]

Définition

On appel différentielle de \(f\) en un point \(a\), notée \(\mathrm{d}f(a)\), est une approximation linéaire de la variation de \(f\).

\[ \mathrm{d}f(a) \;=\; f'(a)\,(x - a). \]

C’est l’outil que les physiciens aiment tant qui permet d’écrire localement pour des \(h\) très petits :
$$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h,$$

5.2. Interprétation géométrique

Considérons la courbe représentative \((C)\) de la fonction \(y=f(x)\) et \(\Delta y\) un accroissement de \(y\) correspondant à l'accroissement \(\mathrm{d} x\) de la variable, on a :

\[ \Delta y=\overrightarrow{P N}=f(x+\mathrm{d} x)=f(x) \]

La différentielle \(\mathrm{d} y\) correspondant au même accroissement \(\mathrm{d} x\) est par définition :

\[ \mathrm{d} y=\overline{P Q}=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \]

car :

\[ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(x) \]

Comparons l'accroissement \(\Delta y\) de la fonction à sa différentielle \(\mathrm{d} y\)

\[ \frac{\Delta y}{\mathrm{~d} y}=\frac{f(x+\mathrm{d} x)-f(x)}{f^{\prime}(x) \mathrm{d} x}=\frac{f(x+\mathrm{d} x)-f(x)}{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{f^{\prime}(x) \mathrm{d} x} \]

en supposant bien entendu que \(f^{\prime}(x) \neq 0\). Quand \(\mathrm{d} x\) tend vers zéro le premier facteur du produit tend vers \(f^{\prime}(x)\) et dans ces conditions \((\Delta y / \mathrm{d} y)\) tend vers 1.

Géométriquement cela signifie que \(Q N\) tend vers zéro lorsque \(\mathrm{d} x \rightarrow 0\). Alors \(\Delta y \cong \mathrm{~d} y\). On peut donc prévoir dès maintenant que la différentielle sera très utile dans les calculs approchés.📐

5.3. Calcul de différentielle

Ce sont les même calcul que ceux des dérivées que l'on a vu précedemment, puisqu'il suffit de multiplier la dérivée par \(\mathrm{d} x\) pour obtenir la différentielle de la fonction. 🤓

Ainsi \(u\) et \(v\) étant deux fonctions de \(x\), on a :

\[ \begin{aligned} d(u+v) & =\mathrm{d} u+\mathrm{d} v \\ d(u v) & =u \mathrm{~d} v+v \mathrm{~d} u \\ d\left[\frac{u}{v}\right] & =\frac{1}{v^{2}}(v \mathrm{~d} u-u \mathrm{~d} v) \end{aligned} \]

De même la différentielle d'une fonction composée \(y=f[u(x)]\) s'écrit :

\[ \mathrm{d} y=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} x} dx \]

Cette relation qui se généralise aisément à un nombre quelconque de fonctions illustre la souplesse du concept de différentielle.

Exemple : approximation de \(\sqrt{4.1}\)

Prenons \(f(x) = \sqrt{x}\) et on veut approximer \(f(4.1)\)

On sait que \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Au point \(x=4\), \(f'(4)=\frac{1}{4}\).

Maintenant approximons :
$$\sqrt{4.1} \approx \sqrt{4} + \frac{1}{4} \times (4.1 - 4) = 2 + 0.025 = 2.025.$$ La valeur de la calculatrice indique environ 2.024845..., donc l’approximation est bonne 😎

Exemple : le travail d'une force

L'intérêt de l'évaluation de l'élément différentiel apparaît clairement dans la simple évaluation du travail d'une force. Le travail élémentaire d'une force \(F\) lors d'un déplacement \(\mathrm{d} x\) est : $$\mathrm{d} W=\vec{F} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~d} x}$$

Pour un ressort qui s'allonge d'une longueur \(x\) la force de rappel vers la position d'équilibre est en première approximation (harmonicité), $$F=-K x$$ et le travail élémentaire d'une telle force devient: $$\mathrm{d} W=-K x \mathrm{~d} x$$

Le travail total correspondant à un allongement "\(a\)" est donc: $$W=\int \mathrm{d} W=-K \int_0^a x \mathrm{~d} x=-(1 / 2) K a^2$$

Exemple : calculs approximatifs

Il arrive souvent en physique que des calculs approchés suffisent. Lorsque les quantités négligées dans le calcul sont du second ou du troisième ordre. La différentielle est très utile dans ce genre de calcul.

Considérons par exemple une boule de glace de rayon \(R\) qui fond et cherchons les valeurs approchées des diminutions de surface \(\Delta S_{a p p}\) et de volume \(\Delta V_{a p p}\) lorsque le rayon de la boule est devenu

\(R-\Delta R \quad\) avec \(\quad R=10 \mathrm{~cm} \quad\) et \(\quad \Delta R=0,2 \mathrm{~cm}\)

Calculons tout d'abord les valeurs approchées :

\[ \begin{array}{lll} S=4 \pi R^2 & \mathrm{~d} S=8 \pi R \mathrm{~d} R & \Delta S_{a p p}=8 \pi R \Delta R=50,24 \mathrm{~cm}^2 \\ V=(4 / 3) \pi R^3 & \mathrm{~d} V=4 \pi R^2 \mathrm{~d} R & \Delta V_{a p p}=4 \pi R^2 \Delta R=251,20 \mathrm{~cm}^2 \end{array} \]

Calculons ensuite les valeurs réelles \(\Delta S_{r}\) et \(\Delta V_{r}\), il vient:

\[ \begin{aligned} \Delta S_{r}= & 4 \pi R^{2}-4 \pi(R-\Delta R)^{2}=8 \pi R \Delta R-4 \pi(\Delta R)^{2}=49,73 \mathrm{~cm}^{2} \\ \Delta V_{r}= & \frac{4}{3} \pi R^{3}-\frac{4}{3} \pi(R-\Delta R)^{3}=4 \pi R^{2} \Delta R-4 \pi R(\Delta R)^{2} \\ & +\frac{4}{3} \pi(\Delta R)^{3}=246,21 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} \]

On constate que les valeurs approchées déduites du calcul différentiel ne diffèrent des valeurs réelles issues du calcul direct que par des infiniments petits du second ordre \((\Delta R)^{2}\) et du troisième ordre \((\Delta R)^{3}\), ce qui justifie l'emploi des valeurs approchées. Cela n'introduit qu'une erreur relative de \(1 \%\) sur la diminution de surface et de \(2 \%\) sur la diminution de volume. Plutôt pas mal non? 🥸

Exemple : analyse de l'erreur de la puissance consommée par une lampe

On considère souvent les erreurs expérimentales comme des variations infiniment petites. On cherche à estimer l'erreur sur la puissance \( P \) consommée par une lampe de résistance \( R \) (considérée parfaitement connue) lorsque le courant \( I \) traversant la lampe est mesuré avec une erreur absolue \(\Delta I\) due à des incertitudes expérimentales.

La relation liant la puissance \( P \) et le courant \( I \) est donnée par :

\[ P = R I^2 \]

En dérivant cette expression, on obtient :

\[ \mathrm{d}P = 2 R I \, \mathrm{d}I \]

En assimilant \(\mathrm{d}P\) à l'erreur absolue sur la puissance \(\Delta P\) et \(\mathrm{d}I\) à l'erreur absolue sur le courant \(\Delta I\), on exprime l'erreur sur la puissance comme suit :

\[ \Delta P = 2 R I \Delta I \]

6. CARACTÈRES DESCRIPTIFS D'UNE FONCTION

6.1. Définition et continuité

Il convient de déterminer le domaine de définition de la fonction, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de la variable pour lequel la fonction est définie.

Définition

La fonction est dite "continue» sur l'intervalle de définition si elle admet une limite finie en tout point de l'intervalle

\[ \lim _{x \rightarrow c \pm \varepsilon} f(x)=f(c) \]

\(\lim _{x \rightarrow c \pm \varepsilon}\) signifie qu'il s'agit de la même limite lorsqu'on tend vers \(f(c)\) en venant à gauche ou à droite de \(x=c\).

6.2. Symétrie élémentaire

L'étude des éléments de symétrie d'une fonction peut réduire le domaine d'étude et fournir des informations précieuses sur sa structure. Les propriétés de symétrie suivantes sont particulièrement utiles!

Définition

• si \(f(x)=f(-x)\) la fonction est paire en \(x\), son graphe est alors symétrique par rapport à l'axe \(Oy\);
• Si \(f(x)=-f(-x)\) la fonction est paire en \(x\), son graphe admet alors l'origine 0 comme centre de symétrie.

Cette propriété est utile pour étudier les fonctions périodiques. Par ailleurs, si la fonction est paire en \(y\), il y a symétrie par rapport à l'axe \(O x\).

6.3. Calcul et étude du signe de la dérivée

L'étude du signe de la dérivée fournit des informations sur les tendances de la fonction :

Définition

• si la dérivée première est positive sur un intervalle donné la fonction est croissante sur cet intervalle.
• si la dérivée première est négative sur un intervalle donné la fonction est décroissante sur cet intervalle.

Dans les deux cas la fonction est dite «monotone» sur l'intervalle considéré. Lorsque la dérivée première s'annule la fonction change d'allure et son graphe présente un extremum.

L'étude du signe de la dérivée seconde donne des informations sur la courbure du graphe 🤓

6.4. Recherche d'asymptotes

Définition

Une droite est appelée «asymptote» si la distance d'un point variable de la courbe à cette droite tend vers zéro lorsque le point s'éloigne à l'infini.

On distingue en général les asymptotes parallèles aux axes de coordonnées :

• si \(f(x)\) tend vers l'infini quand \(x\) tend vers \(x_{0}\), la droite d'équation \(x=x_{0}\) est une asymptote parallèle à l'axe \(O y\);
• si \(x\) tend vers l'infini lorsque la fonction \(y=f(x)\) tend vers la valeur \(y_{0}\), la droite d'équation \(y=y_{0}\) est une asymptote parallèle à l'axe \(O x\);
• Et enfin les asymptotes obliques, d'équation $$y=a x+b$$

Si on applique la définition ci-dessus, on doit donc avoir :

\[ \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-(a x+b)]=0 \]

ce qui peut encore s'écrire

\[ \lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\frac{f(x)}{x}-a-\frac{b}{x}\right]=0 \]

Comme \(x\) tend vers l'infini, il est nécessaire que :

\[ \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{f(x)}{x}-a-\frac{b}{x}\right]=0 \]

Mais comme \(b\) est une constante \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{b}{x} = 0\), par conséquent :

\[ a = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \]

et

\[ b = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[ f(x) - ax \right] \]

On détermine ainsi les coefficients de la droite asymptotique. Si l’une des deux limites n’existe pas, la courbe n’a pas à proprement parler d’asymptote. Cependant, si \(a\) existe mais si \(\left[ f(x) - ax \right]\) n’admet pas de limite, on dit que la courbe a une « direction asymptotique » de coefficient \(a\).

6.5. Tableau de variation

Pour faciliter la construction de graphique lors de l'étude d'une fonction, il est avantageux de créer un tableau de variation qui résume les informations clés sur le comportement des dérivées et les tendances qui s’en déduisent, ainsi que les valeurs de la fonction pour des points particuliers, extrema, points d’inflexion, valeur asymptotique, etc.

En réunissant ces informations dans un tableau, on peut facilement analyser et visualiser les propriétés de la fonction, ce qui facilite en fin de compte la construction du graphe représentatif du domaine d'étude.

Pour les plus curieux vous trouverez un très bon tutorial sur la réalisation de tableaux de variation en bas de page⁶

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7. ÉTUDE DE FONCTIONS CLASSIQUES

Dans cette partie nous allons passer en revue les fonctions les plus communes qu'il est bon de connaitre. 🤓

7.1. Les fonctions polynômes

La fonction polynôme est une combinaison linéaire à coefficients réels de la variable \(x\) à des puissances entières, positives ou nulles, de la forme :

\[ f(x) = A_0 + A_1x + A_2x^2 + \dots + A_nx^n \]

Un tel polynôme peut se factoriser en un produit de polynômes de degrés inférieurs.

Les fonctions polynômes les plus utilisées sont :

• \(y = f(x) = ax + b\) (représentée par une droite)
• \(y = f(x) = ax^2 + bx + c\) (représentée par une parabole)

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Exemple : étude de la fonction \(y = x^3 - 5x^2 + 3x + 1\)

Cette fonction est définie et continue quel que soit \(x\).

• Elle a pour dérivée première :

\(y' = 3x^2 - 10x + 3\)

qui s'annule pour \(x = 3\) et \(x = \frac{1}{3}\), elle est négative à l'intérieur de ces racines et positive ailleurs.

• Elle a pour dérivée seconde :

\(y'' = 6x - 10\)

qui s'annule pour \(x = \frac{5}{3}\) ce qui indique la présence d’un point d'inflexion. Il est situé à mi-distance des deux extrema.

• Lorsque \(x\) tend vers moins l'infini, il en va de même pour \(f(x)\). La fonction présente donc deux branches paraboliques.

Tableau de variation

Exemple : étude des fonctions polynomes intuitives

Il est bon de rappler l'allure des polynomes les plus connus afin d'avoir leurs graphiques en tête pour faciliter l'étude d'autres fonctions

7.2. Les fractions rationnelles

Définition

Les fractions rationnelles sont des quotients de deux polynômes \(f(x)\) et \(g(x)\).
Elles sont définies pour toute valeur de \(x\) n'annulant pas le dénominateur \(g(x)\).

\[ R(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A_0 + A_1x + A_2x^2 + \cdots + A_nx^n}{B_0 + B_1x + B_2x^2 + \cdots + B_mx^m} \]

Example

Exemple :étude de la fonction \(y = \frac{x^2 + 3x - 2}{x - 1}\)

Commençons par regarder ou la fonction est définie et continue. On voit que pour tout \(x\) sauf \(x = 1\), elle a pour dérivée première :

\[ y' = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x - 2)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x - 1)^2} \]

qui s'annule pour \(x = 1 + \sqrt{2}\) et \(x = 1 - \sqrt{2}\) ;

Sa dérivée seconde quant à elle vaut :

\[ y'' = \frac{4}{(x - 1)^3} \]

• La fonction est donc négative pour \(x < 1\) ; la courbe a sa concavité tournée vers les \(y < 0\).
• Pour \(x > 1\), la courbe a sa concavité tournée vers les \(y > 0\).

La courbe présente une asymptote parallèle à l’axe \(Oy\) car pour \(x\) tendant vers \(1\) la fonction devient infinie.

Il existe également une asymptote oblique d’équation \(Y = Ax + B\), car :

\[ A = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x - 2}{x(x - 1)} \approx \frac{x^2}{x^2} = 1 \]

et

\[ B=\lim _{x \rightarrow \infty}(y-x)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^{2}+3 x-2}{x-1}-x\right]=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x-2}{x-1} \]

L'équation de l'asymptote oblique est donc :

\[ Y=x+4 \]

On peut savoir si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'asymptote quand \(x \rightarrow \infty\) en faisant la différence \(y-Y\)

\(y - (x + 4) = \frac{2}{x - 1} \left\{\begin{array}{l} >0 \quad \text{quand } x \to +\infty \quad \to \text{ courbe au-dessus de l'asymptote} \\ < 0 \quad \text{quand } x \to +\infty \quad \to \text{ courbe au-dessous de l'asymptote}\end{array}\right.\)

Voyons ci-dessous les courbes caractéristiques de quelques fractions rationelles courantes qu'il est bon d'avoir en tête :

7.3. Fonctions circulaires et trigonométriques

7.3.1. Périodicités

Définition

Considèrons un cercle orienté de rayon \(1\), le sens de parcours positif est toujours le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le cercle ainsi défini est appelé cercle trigonométrique.

Les fonctions circulaires courantes, sinus, cosinus, tangente et cotangente sont alors définies de la façon suivante : $$\begin{array}{ll} \overline{O P}=\sin x & \overline{O Q}=\cos x \\ \overline{A T}=\operatorname{tg} x & \overline{B C}=\operatorname{cotg} x \end{array}$$

À partir des fonctions ci-dessus on définit également la fonction sécante (la fonction cosécante ( \(\operatorname{cosec} x\) ) et sa version utilisées par les auteurs anglophones \((\sec x)\) et

\[ \sec x=\frac{1}{\cos x} \quad \operatorname{cosec} x=\frac{1}{\sin x} \]

Définition

Ce sont des fonctions périodiques, c'est-à-dire qu'il existe \(c\) tel que :

\[ f(x+c)=f(x) \]

On a donc les propriétés suivantes sur ces fonctions : $$\begin{array}{ll} y=\sin x & \text { a pour période } 2 \pi \rightarrow \sin (x+2 \pi)=\sin x \\ y=\cos x & \text { a pour période } 2 \pi \rightarrow \cos (x+2 \pi)=\cos x \\ y=\operatorname{tg} x & \text { a pour période } \pi \rightarrow \operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg} x \\ y=\operatorname{cotg} x & \text { a pour période } \pi \rightarrow \operatorname{cotg}(x+\pi)=\operatorname{cotg} x \end{array}$$

Les valeurs numériques des fonctions trigonométriques les plus souvent utilisées sont données dans le tableau qui suit:

\(\sin \pi / 6=(1 / 2)\)	\(\sin \pi / 4=\sqrt{2} / 2\)	\(\sin \pi / 3=\sqrt{3} / 2\)
\(\cos \pi / 6=\sqrt{3} / 2\)	\(\cos \pi / 4=\sqrt{2} / 2\)	\(\cos \pi / 3=(1 / 2)\)
\(\operatorname{tg} \pi / 6=1 / \sqrt{3}\)	\(\operatorname{tg} \pi / 4=1\)	\(\operatorname{tg} \pi / 3=\sqrt{3}\)
\(\operatorname{cotg} \pi / 6=\sqrt{3}\)	\(\operatorname{cotg} \pi / 4=1\)	\(\operatorname{cotg} \pi / 3=1 / \sqrt{3}\)

D'une manière générale la variable \(x\) est l'arc orienté \(\widehat{AM}\) mesuré à \(2 k \pi\) près, ou encore l'angle trigonométrique \((\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O M})\) qui peut être évalué en radians, en degrés ou en grades.

Utiliser le radian dans les développements limités des fonctions circulaires est recommandé pour éviter les erreurs significatives, notamment celles qui peuvent surgir lors du calcul des dérivées et des intégrales.

7.3.2. Relations élémentaires

De simples considérations géométriques sur le cercle trigonométrique permettent d'établir les relations suivantes :

Définition

\[ \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1 $$ $$ \begin{array}{ll} tg \ x = \frac{sin \ x}{cos \ x} & cotg \ x = \frac{1}{tg \ x}\\ \end{array} \]

De même en étudiant les diverses symétries qui apparaissent dans le cercle trigonométrique, on a :

\(\cos (-x)=\cos x\)	\(\cos (\pi-x)=-\cos x\)	\(\cos (\pi+x)=-\cos x\)
\(\sin (-x)=-\sin x\)	\(\sin (\pi-x)=\sin x\)	\(\sin (\pi+x)=-\sin x\)
\(\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg} x\)	\(\operatorname{tg}(\pi-x)=-\operatorname{tg} x\)	\(\operatorname{tg}(\pi+x)=\operatorname{tg} x\)
\(\operatorname{cotg}(-x)=-\operatorname{cotg} x\)	\(\operatorname{cotg}(\pi-x)=-\operatorname{tg} x\)	\(\operatorname{cotg}(\pi+x)=\operatorname{cotg} x\)

Ainsi que :

\(\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\)	\(\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x\)
\(\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\)	\(\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x\)
\(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\operatorname{cotg} x\)	\(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\operatorname{cotg} x\)
\(\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\operatorname{tg} x\)	\(\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\operatorname{tg} x\)

7.3.3. Variations et graphes des fonctions circulaires

Les fonctions circulaires admettent respectivement pour fonctions dérivées :

Définition

\[ \begin{array}{lll} y=\sin x & \rightarrow & y^{\prime}=\cos x \\ y=\cos x & \rightarrow & y^{\prime}=-\sin x \\ y=\operatorname{tg} x & \rightarrow & y^{\prime}=\left(1 / \cos ^2 x\right)=1+\operatorname{tg}^2 x \\ y=\operatorname{cotg} x & \rightarrow & y^{\prime}=-\left(1 / \sin ^2 x\right)=-\left(1+\operatorname{cotg}^2 x\right) \end{array} \]

Il est important de noter aussi :

Définition

Les fonctions \(y=\sin x\) et \(y=\cos x\) sont définies et continues quel que soit \(x\). Elles sont indéfiniment dérivables. Leurs valeurs numériques évoluent entre +1 et -1.

La figure ci-dessus montre les variations de ces deux fonctions. On constate qu'elles se déduisent l'une de l'autre par des translations de plus ou moins \(\pi / 2\).

Fonctions \(\operatorname{tg} x\) et \(\operatorname{cotg} x\)

La fonction \(y=\operatorname{tg} x\) (en vert) n'est pas définie pour les valeurs de \(x\) annulant \(\cos x\), c'est-à-c'est-à-dire pour \(x_{0}=(\pi / 2)+k \pi\) représentés par les asymptotes oranges sur le graphique ci-dessous :

Elle est définie continue et dérivable pour toutes les autres valeurs de \(x\). Sa dérivée étant toujours positive son graphe est constitué par une succession infinie de branches croissant définie et continue asymptotes les droites \(x=x_{0}\).

La fonction \(y=\operatorname{cotg} x\) (en noir) est définie et continue pour tout \(x≠k\pi\). Son graph admet donc pour asymptotes les droites d'équation \(x=k \pi\).

7.3.4. Relations de transformation

Dans cette partie nous aborderons les formules importantes à avoir en tête si on utilise des fonctions trigonométriques. 😎

Fonctions circulaires d'une somme ou d'une différence

\[ \begin{aligned} & \cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b \\ & \cos (a-b)=\cos a \cos b+\sin a \sin b \\ & \sin (a+b)=\sin a \cos b+\sin b \cos a \\ & \sin (a-b)=\sin a \cos b-\sin b \cos a \\ & \operatorname{tg}(a+b)=\frac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{1-\operatorname{tg} a \operatorname{tg} b} \\ & \operatorname{tg}(a-b)=\frac{\operatorname{tg} a-\operatorname{tg} b}{1+\operatorname{tg} a \operatorname{tg} b} \end{aligned} \]

Produit de deux fonctions circulaires

\[ \begin{aligned} & \cos a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] \\ & \sin a \cdot \sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)] \\ & \sin a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)] \end{aligned} \]

Carré d'une fonction circulaire et fonctions circulaires double

En remplaçant \(b\) par \(a\) dans les relations donnant \(\cos (a+b), \sin (a+b)\) et \(\operatorname{tg}(a+b)\), cela devient :

\[ \begin{aligned} \cos 2 a & =\cos ^2 a-\sin ^2 a \\ \sin 2 a & =2 \sin a \cos a \\ \operatorname{tg} 2 a & =\frac{2 \operatorname{tg} a}{1-\operatorname{tg}^2 a} \end{aligned} \]

De même en remplaçant \(b\) par \(a\) dans les relations donnant les produits \((\cos a \cdot \cos b)\) et \((\sin a \cdot \sin b)\), il vient : $$\begin{aligned} & \cos ^2 a=\frac{1}{2}(1+\cos 2 a) \\ & \sin ^2 a=\frac{1}{2}(1-\cos 2 a) \end{aligned}$$

Somme et différence de deux fonctions trigonométriques

En posant \((a+b)=p\) et \((a-b)=q\), on obtient : $$\begin{aligned} \cos p+\cos q & =2 \cos \frac{p+q}{2} \cdot \cos \frac{p-q}{2} \\ \cos p-\cos q & =-2 \sin \frac{p+q}{2} \cdot \sin \frac{p-q}{2} \\ \sin p+\sin q & =2 \sin \frac{p+q}{2} \cdot \cos \frac{p-q}{2} \\ \sin p-\sin q & =2 \cos \frac{p+q}{2} \cdot \sin \frac{p-q}{2} \\ \operatorname{tg} p+\operatorname{tg} q & =\frac{\sin (p+q)}{\cos p \cos q} \\ \operatorname{tg} p-\operatorname{tg} q & =\frac{\sin (p-q)}{\cos p \cos q} \end{aligned}$$

Formule de Moivre

A partir de cette relation, que nous démontrerons plus loin, on peut résoudre d'une manière générale le problème de la multiplication des arcs par un entier \(n\), c'est-à-dire exprimer les fonctions circulaires de l'arc \(na\) en fonction de \(\sin a, \cos a\) et \(\operatorname{tg} a\)

\[ \cos n a+i \sin n a=(\cos a+\sin a)^n \]

Il suffit alors de développer le second membre en séparant la partie réelle et la partie imaginaire, pour obtenir \(\cos n a\) et \(\sin n a, \operatorname{tg} n a\) s'obtient ensuite par simple division. Pour \(n=3\) on a : $$\begin{aligned} \cos 3 a & =4 \cos ^3 a-3 \cos a \\ \sin 3 a & =-4 \sin ^3 a+3 \sin a \\ \operatorname{tg} 3 a & =\frac{3 \operatorname{tg} a-\operatorname{tg}^3 a}{1-3 \operatorname{tg}^2 a} \end{aligned}$$

Inversement on peut exprimer \(\sin ^n a\) et \(\cos ^n a\) comme des fonctions linéaires des sinus et cosinus des arcs multiples de $ a$.

Par exemple pour \(n=3\), $$\begin{aligned} & \cos ^3 a=(1 / 4)(\cos 3 a+3 \cos a) \\ & \sin ^3 a=(1 / 4)(-\sin 3 a+3 \sin a) \end{aligned}$$

Expression des fonctions circulaires à l'aide de la tangente de l'arc moitié

On peut évaluer \(\sin a, \cos a\) et \(\operatorname{tg} a\) à l'aide du paramètre \(t=\operatorname{tg}(\frac{a}{2})\). Cet artifice est souvent employé dans l'intégration des fonctions trigonométriques compliquées et dans l'étude des fonctions données sous forme paramétrique. On a donc par changement de variable :

\[ \sin a=\frac{2 t}{1+t^2}, \quad \cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad \operatorname{tg} a=\frac{2 t}{1+t^2} \]

7.3.5. Applications des relations de transformation

Elles sont extrêmement nombreuses dans l'analyse mathématique. En physique, les fonctions trigonométriques sont essentiellement utilisées dans la repré sentation des phénomènes périodiques. C'est dire leur importance. Cette repré sentation peut avoir plusieurs formes équivalentes. Considérons l'expression : $$a \sin \omega t+b \cos \omega t$$ posons \((b / a)=\operatorname{tg} \varphi\), on peut donc écrire : $$a \sin \omega t+b \cos \omega t=a(\sin \omega t+\operatorname{tg} \varphi \cos \omega t)=a\left(\sin \omega t+\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} \cos \omega t\right)$$ soit encore : $$\frac{a}{\cos \varphi}(\sin \omega t \cdot \cos \varphi+\sin \varphi \cos \omega t)=\frac{a}{\cos \varphi} \sin (\omega t+\varphi)$$

finalement on a :

\[ a \sin \omega t+\cos \omega t=A \sin (\omega t+\varphi) $$ avec : $$ A=(a / \cos \varphi)=a \sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \varphi}=\sqrt{a^2+b^2} \]

Sous la première forme, issue de la résolution de l'équation du mouvement, la signification physique des paramètres \(a\) et \(b\) est loin d'être claire.

Au contraire après transformation on peut attribuer à \(A\) et \(\varphi\) des significations concrètes. \(A\) est l'amplitude du mouvement et \(\varphi\) la phase, \(\omega\) étant bien entendu la pulsation.

7.3.6. Exemples de fonctions trigonométriques

Exemple 1 : étude de la fonction \(y=x+\sin x\)

Nous pouvons voir que cette fonction est définie et continue quelque soit \(x\). Si on regarde maintenant la symétrie de la fonction : si l'on change \(x\) en \(-x, y\) est changé en \(-y\), il y a donc symétrie par rapport à l'origine. 📐

Elle admet pour dérivée \(y^{\prime}=\cos x+1\), toujours positive ou nulle. Elle s'annule périodiquement pour les valeurs de \(x\) telles que \(\cos x=-1\), c'est-à-dire pour \(x=(2 k+1) \pi\).

Le graphe de cette fonction peut être considéré comme somme des ordonnées des courbes \(y_1=x\) (première bissectrice) et \(y_2=\sin x\) (simple sinusoïde) comme ci-dessous.

Nous remarquerons que cette fonction, constamment croissante, n'est pas périodique. Elle ne présente pas de maximum quant bien même sa dérivée s'annule.

En effet, il n'y a jamais changement de signe de la dérivée.

Exemple 2 : étude de la fonction \(y=\frac{\sin x}{x}\)

Cette fonction est très importante en physique. Elle représente les variations d'amplitude de la lumière diffractée par une fente. 👩‍🔬👨‍🔬

• Définition et continuité: elle est définie et continue quelque soit \(x\), en effet même pour \(x=0\), la fonction admet une limite finie égale à 1 , car : $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cong \frac{x-\left(x^3 / 3!\right)+\cdots}{x} \cong 1$$
• Dérivéé : elle admet pour dérivée : $$y^{\prime}=\frac{x \cos x-\sin x}{x^2}$$

La recherche de ses zéros est importante puisqu'ils correspondent physiquement aux extrema d'amplitude de la lumière.

Recherche de \(0\) et étude de signe

Le signe de \(y^{\prime}\) est celui de \((x \cos x-\sin x)\). Les valeurs de \(x\) qui annulent la dérivée sont données par l'équation : $$\operatorname{tg} x=x$$

Cette équation peut se résoudre graphiquement en cherchant les intersections des courbes \(y_1=\operatorname{tg} x\) et de la droite \(y_2=x\).

La figure ci-dessous montre que ces intersections correspondent à des abscisses très voisines de \((2 k+1)(\pi / 2)\). Ce sont les valeurs de \(x\) qui donnent à \(\sin x\) les valeurs \(\pm 1\)

La dérivée étant alternativement positive et négative entre deux extrema consécutifs, on dresse le tableau de variation suivant:

Le graphe des variations de \(y=\frac{\sin x}{x}\) décrit l'amplitude de l'onde diffractée. Autour du maximum central \((x=0)\) il y a une série d'extrema symétriques par rapport à l'origine et dont les ordonnées vont en décroissant, suivant la loi : $$y=(-1)^k \frac{2}{(2 k+1) \pi}$$

Il est à remarquer que seules les intensités diffractées sont observables. Elles varient suivant la fonction \(y^2\) dont le graphe est tracé à l'aide des carrés des ordonnées de la fonction \(y\). L'intensité diffractée est donc toujours positive.

Elle présente un maximum central très lumineux entouré symétriquement d'une série de maxima secondaires beaucoup plus faibles. Elle s'annule pour les valeurs de \(x\) annulant \(\sin x\) c'est-à-dire \(x=k \pi\). L'ordonnée des maxima secondaires (franges de diffraction) diminue rapidement suivant la loi : $$y^2=\frac{4}{(2 k+1)^2 \pi^2}$$

Le graphe ci-dessus ne donne que l'allure générale des variations de l'intensité diffractée. En fait l'amplitude des maxima et minima secondaires est extrêmement petite devant celle du maximum central. Elle décroit en outre très rapidement.

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7.4. Les fonctions inverses

7.4.1. Définition

Définition

Soit une fonction \(y=f(x)\) définie, continue et strictement monotone (fonction croissante ou décroissante) sur l'intervalle \((a, b)\). Posons : $$\alpha=f(a) \quad \text { et } \quad \beta=f(b)$$

Si \(f(x)\) est croissante on a \(\alpha<\beta\). Si \(f(x)\) est décroissante on a \(\alpha>\beta\).

Pour tous \(x\) appartenant à l'intervalle \((a, b)\) correspond un \(y\) appartenant à l'intervalle \((\alpha, \beta)\) et réciproquement à une valeur de \(y\) appartenant à \((\alpha , \beta)\) correspond une valeur de \(x\) de \((a, b)\) et une seule.

A la fonction \(y=f(x)\) correspond une fonction \(x=g(y)\) qu'on appelle fonction inverse de \(f(x)\) et qu'on note souvent \(f^{-1}(y)\).

Lorsque \(y=f(x)\) est dérivable sur \((a, b)\) la fonction inverse \(x=f^{-1}(y)=\) \(g(y)\) admet une dérivée sur \((\alpha, \beta)\) $$g^{\prime}(y)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=\frac{1}{(\mathrm{~d} y / \mathrm{d} x)}=\frac{1}{f^{\prime}(x)}$$

7.4.2. Fonctions polynômes et fractions rationnelles inverses

Les graphes ci-dessous illustrent les fonctions inverses des fonctions polynômes les plus courantes qu'il est bon d'avoir en tête. 🤓

Dans les intervalles où elles sont définies et continues on peut faire correspondre aux fractions rationnelles simples leurs fonctions inverses. Les graphes ci-dessous illustrent leurs variations.

Les courbes représentatives des fonctions \(y=f(x)\) et \(x=f^{-1}(y)\) sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation \(y=x\).

7.4.3. Fonctions circulaires inverses

Les fonctions \(\sin x\) et \(\cos x\) sont continues et alternativement croissantes et décroissantes. La fonction \(\operatorname{tg} x\) est croissante mais n'est pas toujours définie.

Sur tout intervalle où ces fonctions sont monotones et continues on leur associe des fonctions inverses:

La fonction \(arcsin\) (inverse de \(sin\))

Cette fonction n'est définie que sur l'intervalle \([-1,+1]\). Pour toute valeur de \(y\) appartenant à cet intervalle il y a une double infinité de déterminations de l'arc \(x\) évalué en radian.

On dit que la fonction \(x=arcsin(y)\) est une fonction multifome. Si on impose l'intervalle \(x\) de rester dans l'intervalle \(]-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}[\) la fonction \(y=sin(x)\) reste définie, continue et monotone, il lui correspond la "détermination principale" de la fonction inverse \(x=\arcsin y\), que l'on notera avec une majuscule :

\[ x=Arcsin(y) \]

Les autres déterminations sont notées avec une minuscule. Dans ce qui suit, pour que les représentations graphiques soient convenablement orientées on utilisera les notations directes, soit :

\[ y=Arcsin(x) \]

définie comme la fonction inverse de \(x=\sin y\) dans l'intervalle \(-1 \leq x \leq+1\). Dans ces conditions :

\[ \begin{gathered} \left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)=\cos y \text { et }\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{1}{\cos y} \\ \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2 y}} \end{gathered} \]

Cette dérivée n'est définie que pour \(-1<x=\sin y<+1\), on a alors : $$y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}(\operatorname{Arcsin} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Définition

Lorsqu'elle est définie cette dérivée est positive, la fonction \(y=\operatorname{Arcsin} x\) est donc constamment croissante.

La fonction \(Arccos\) (inverse de \(cos\))

De même que la fonction \(Arcsin\), on définit la fonction \(y=Arccos(x)\) comme la fonction inverse de \(x=\cos y\). La fonction \(Arccos(x)\) est également multiforme. On nomme "détermination principale" la détermination notée

\[ y=\operatorname{Arccos} x \]

qui varie de \(\pi\) à 0 . Dans ce domaine :

\[ \begin{gathered} \left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)=-\sin y \text { et }\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=-\frac{1}{\sin y} \\ \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}(\operatorname{Arccos} x)=\frac{-1}{\sqrt{1-\cos ^{2} y}} \end{gathered} \]

Définition

Cette dérivée est toujours négative lorsqu'elle est définie, c'est-à-dire quand \(-1<x=\cos y<+1\). La fonction \(y=\) Arc \(\cos x\) est donc constamment décroissante.

La graphe de \(y=\operatorname{Arc} \cos x\) se déduit de celui de \(y=\operatorname{Arcsin} x\) par une translation de \(\pi / 2\) suivie d'une symétrie d'axe \(O y\), on a donc :

\[ \operatorname{Arcsin} x+\operatorname{Arccos} x=\pi / 2 \]

La fonction \(Arctan\) (inverse de \(tg\))

Enfin, on peut définir \(y=\operatorname{arctan} x\) ou \(Arctg\) comme la fonction inverse de \(x=\operatorname{tg} y\). Parmi l'infinité des déterminations de \(\operatorname{arctg} x\) la détermination principale :

\[ y=\operatorname{Arctg} x \]

est celle qui varie de \(-\pi / 2\) à \(+\pi / 2\) quand \(x\) varie de \(-\infty\) à \(+\infty\).

Définition

Sa dérivée se déduit immédiatement de \((\mathrm{d} y / \mathrm{d} x)=1 /\left(1+\operatorname{tg}^2 y\right)\) car \((\mathrm{d} x / \mathrm{d} y)=1+\operatorname{tg}^2 y=1+x^2\). Elle est toujours positive et la fonction \(\operatorname{Arctg} x\) est constamment croissante.

En récapitulant nous avons, par inversion, introduit quatre nouvelles fonctions qui sont souvent utilisées en technologie et en physique instrumentale. Elles jouent également un rôle important dans le calcul des intégrales du fait que leurs dérivées s'expriment sous des formes analytiques simples.

Function	\(y'\)	Domain
\(y = \arcsin(x)\)	\(y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)	\(-1 < x < +1\)
\(y = \arccos(x)\)	\(y' = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\)	\(-1 < x < +1\)
\(y = \arctan(x)\)	\(y' = \frac{1}{1 + x^2}\)	\(x \text{ quelconque}\)
\(y = \text{arccot}(x)\)	\(y' = \frac{-1}{1 + x^2}\)	\(x \text{ quelconque}\)

Exemple : étude de la fonction \(y=Arctan(\frac{1}{x})\)

Cette fonction est définie pour tout \(x\) sauf pour \(x=0\). Elle passe de la valeur \(-\pi / 2\) à la valeur \(+\pi / 2\) quand \(x\) traverse la valeur zéro.

Il s'agit là d'un cas typique de discontinuité de première espèce. Une autre propriété qui résulte des propriétés élémentaires de la fonction \(\operatorname{tg} x\), à savoir que : $$\operatorname{Arctg} x+\operatorname{Arctg} \frac{1}{x}= \pm \frac{\pi}{2}$$ suivant que \(x\) est positif ou négatif, donne un intérêt particulier à cette fonction.

8. CONCLUSION

L’étude d’une fonction à une variable est une démarche incontournable dans l’analyse des phénomènes physiques et scientifiques. Elle permet de modéliser les relations entre différentes grandeurs, d’identifier les comportements locaux et globaux, et de faire des prédictions fiables sur l’évolution des systèmes étudiés.

Grâce aux outils comme les dérivées, les développements limités, et la différentielle, cette analyse relie la rigueur mathématique aux réalités expérimentales.🥸

Toutefois, cette démarche n’a de valeur que si les résultats mathématiques sont reliés à leur signification physique. Il ne s’agit pas simplement de manipuler des équations ou de se contenter de leur présentation formelle.

L’essentiel réside dans leur interprétation, dans ce qu’elles révèlent sur le monde réel.

Ainsi, étudier les fonctions, ce n’est pas seulement jouer avec des symboles. C’est établir un dialogue entre la rigueur mathématique et la compréhension des phénomènes qui nous entourent. C'est cette démarche qui nous ouvre des perspectives fascinantes et nous pousse à toujours mieux relier les théories aux réalités.🤔

Jeretiens

En combinant interprétation physique et formalisation mathématique, nous pouvons non seulement valider des hypothèses mais aussi ouvrir de nouvelles perspectives de recherche, renforçant pas à pas notre compréhension du monde réel.

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1. Définiton de wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_(mathématiques) ↩

2. Définiton de wikipedia: https://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité ↩

3. Définiton de wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_différentiel ↩

4. The history of calculus, Harvard Mathematics Department https://people.math.harvard.edu/~knill/teaching/summer2014/exhibits/lagrange/history_calculus_rosenthal.pdf ↩

5. Forum Quora sur les plus belles formes mathématiques : https://www.quora.com/What-is-the-most-aesthetically-beautiful-graph-surface-in-mathematics-topology-etc ↩

6. Des tableaux de variations et de signes avec LaTeX: https://zestedesavoir.com/tutoriels/439/des-tableaux-de-variations-et-de-signes-avec-latex/ ↩