🇫🇷 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
4. DÉVELOPPEMENTS LIMITES
Les développements limités sont une technique d'analyse, utilisé pour résoudre des problèmes liés à l'infini ou aux limites.
En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point1, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :
- d'une fonction polynomiale ;
- d'un reste négligeable au voisinage du point considéré.
L'idée derrière cela est de représenter une fonction ou une expression complexe comme une série de termes finis et simplifiés, qui convergent vers la valeur finale. Très pratiques pour les ordinateur finalement 🤔
Les développements limités présentent plusieurs avantages, notamment :
- Simplifier : des expressions complexes en les représentant comme une somme de termes finis et simplifiés.
- Analyser : les propriétés des fonctions et des expressions complexes, telles que leurs limites, leurs asymptotes et leurs comportements à l'infini.
- Résoudre des problèmes : liés aux fonctions périodiques ou aux fonctions symétriques.
Dévelopement au premier ordre
Théorème
Lorsque \(\Delta x\) est petit, on peut écrire d'après le théorème des accroissements finis et au voisinage d'un point d'abscisse \(x_{0}\) :
soit :
Autrement dit, si l'on connaît la valeur de \(f(x)\) au point \(x_{0}\) on peut en déduire approximativement sa valeur au point \(x_{0}+\Delta x\) à condition que \(\Delta x\) soit petit. Graphiquement cela revient à remplacer, au voisinage de \(x_{0}\), la courbe représentative de \(f(x)\) par la tangente à cette courbe, comme le montre la figure ci-dessous:
La formule peut encore s'écrire :
pour \(x\) voisin de \(x_{0}\).
On considère souvent le cas plus simple où \(x_{0}\) est l'origine. On pose alors \(\Delta x=x\) et la relation d'approximation devient :
Ordres supérieurs
Soit une fonction \(f(x)\) continue au voisinage de \(x_{0}\) et dérivable \(n\) fois en \(x=x_{0}\). Pour obtenir une valeur plus exacte de \(f(x)\) au voisinage de \(x_{0}\), on peut étendre l'expression de \(f(x)=f\left(x_{0}+\Delta x\right)\) en l'approchant par un polynôme \(P_n(x)\) de degré \(n\), dont la valeur au point \(x_0\) est égale à la valeur de la fonction en ce point :
et tel que ce polynôme soit «proche» de la fonction au voisinage de \(x_{0}\), c'est-àdire que la différence \(f(x)-P_{n}(x)\) est infiniment petite par rapport à \(\left(x-x_{0}\right)^{n}\). Ôn a donc:
où \(\varepsilon(x) \rightarrow 0\) quand \(x \rightarrow x_{0}\) et
où \(A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) sont des constantes que nous allons déterminer.
On a donc écrit ici \(f(x)\) sous forme d'un développement limité. \(P_{n}(x)\) est la partie régulière du développement, \(\left(x-x_{0}\right)^{n} \varepsilon(x)\) est le terme complémentaire.
La condition \(f\left(x_{0}\right)=P_{n}\left(x_{0}\right)\) entraîne que :
La fonction \(f(x)\) est d'autant mieux approximée par le polynôme \(P_{n}(x)\) que ses dérivées successives sont égales à celles de \(P_{n}(x)\) au point \(x_{0}\).
Les dérivées successives du polynôme \(P_{n}(x)\) sont:
L'égalité des dérivées successives de \(P_{n}(x)\) et \(f(x)\) en \(x_{0}\) conduit à la détermination des coefficients du polynôme :
Théorème
La fonction \(f(x)\) est donc égale à :
On peut démontrer que :
On obtient alors la formule de Taylor ci-dessous :
\(\begin{aligned} f(x)=f\left(x_{0}\right) & +\frac{\left(x-x_{0}\right)}{1!} f^{\prime}\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2!} f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)+\cdots \\ & +\frac{\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n!} f^{(n)}\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)\end{aligned}\)
Rappelons que ceci est le développement limité de \(f(x)\) au voisinage de la valeur \(x_{0}\), c'est-à-dire que \(x-x_{0}\) est petit et que chaque terme ajouté est. inférieur au précédent:
et si dans le développement limité de \(f(x)\) on s'arrête par exemple au terme d'ordre 3, l'erreur (erreur absolue) faite sur \(f(x)\) est alors de l'ordre de
Lemme
Remarque : si \(f(x)\) est un polynôme de degré \(n\), on a \(f^{(n+1)}(x) \equiv 0\), d'où (le terme complémentaire disparaissant):
🤓 Il s'agit cette fois d'une identité et non une approximation.
Cas particulier : développement limité au voisinage de \(x=0\)
En remplaçant \(x_{0}\) par 0 , on obtient le développement limité de McLaurin
avec \(0<\theta<1\).
Theorem
Remarque : si la fonction \(f(x)\) est une fonction paire, la partie régulière de son dévelopement limité ne contient que des termes en \(x^{2p}\). Si au contraire la fonction est impaire, seuls apparaissent les termes en \(x^{2 p+1}\).
Si \(f(x)\) admet \(n\) dérivées successives au point \(x_{0}, f^{\prime}(x)\) en admet \(n-1\). On peut donc écrire les développements suivants :
On reconnaît dans la partie régulière du développement de \(f'(x)\) la dérivée de la partie régulière du développement limité de \(f(x)\). On peut donc obtenir un développement limité par dérivation ou intégration d'un développement limité.
4.1. Calculs des développements limités
Comme dit dans l'introduction, les développements limités (ou développements en série de Taylor/MacLaurin) servent à approximer une fonction autour d’un point (souvent \(0\), ou un point \(\alpha\) a quelconque) à l’aide d’un polynôme. Voyons maintenant comment ils se calculent.
En d’autres termes, quand on dit que
on se donne un moyen d’approcher la valeur de \(f(x)\) pour \(x\) proche de \(a\) sans devoir «tout recalculer» à partir de la fonction d’origine, parfois très compliquée.
4.1.1. Développements limités usuels, au voisinage de \(x=0\)
L'utilisation de la formule de McLaurin n'est commode que si l'on sait calculer rapidement les dérivées successives de \(f(x)\) pour \(x=0\). C'est le cas pour : ou \((x≠1)\)
(ce développement peut aussi s'obtenir en faisant la division de 1 par \(1-x\) suivant les puissances croissantes de \(x\) jusqu'à l'ordre \(n\) )
Tous ces développements limités se déduisent du premier, par simple changement de variable, pour des valeurs entières ou fractionnaires de «q \(q\) ».
Si l'on s'arrête au second ordre, on obtient des relations d'approximation très utilisées en physique : pour \(\varepsilon \ll 1\),
Et bien sur les incontournables :
Les développements limités de \(\sin x, \cos x\) et \(e^{x}\) sont obtenus facilement en appliquant la formule de McLaurin ; \(\sin x\) étant une fonction impaire, le terme complémentaire est pair ; pour la même raison, la fonction \(\cos x\) étant paire, le terme complémentaire est impair.
Dans les développements limités, les angles doivent être exprimés en radians.
Le développement limité de \(\ln (1+x)\) s'obtient par exemple par intégration de celui de \(\frac{1}{1+x}\). Le terme constant qui est nul, s'obtient par identification de la fonction et de son développement pour \(x=0\).
On trouve de même par intégration :
4.1.2. Exemple de calcul de développements limités au voisinage de \(x=0\)
On peut utiliser la formule de McLaurin, ce qui nécessite de calculer les dérivées successives. Si cela est possible, on essaie plutôt d'utiliser des développements limités connus.
Exemple 1: développement limité d'ordre 3 de \(y=\frac{e^{x}}{1-x}\)
Cette fonction peut s'écrire \(y=e^{x} \cdot \frac{1}{1-x}\). Le développement limité d'un produit de deux fonctions est égal au produit de leurs développements limités respectifs, on a :
En se limitant aux termes d'ordre 3, il vient finalement :
Exemple 2: développement limité d'ordre 5 de \(\operatorname{tg} x\)
Cette fonction peut s'écrire \(\operatorname{tg} x=\sin x / \cos x\). Le développement limité d'un quotient étant le quotient des développements limités, on a :
Posons \(u=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\) et calculons tout d'abord le développement de :
en nous bornant aux termes d'ordre égaux ou inférieurs à 5 . Nous sommes alors ramenés au cas précédent d'un produit de développements limités
soit,
Exemple 3: développement limité d'ordre 3 de \(y=\ln (1+\sin x)\)
Lorsque \(x\) tend vers zéro il en est de même pour \(\sin x\) on peut donc poser \(\sin x=u\), or
soit enfin :
Tous ces calculs peuvent s'effectuer directement à l'aide de la formule de McLaurin.
4.1.3. Exemple de calcul d'un développement limité au voisinage de \(x_{0} \neq 0\)
Calcul du développement limité de \(\cos ^{2} x\) pour \(x \sim \frac{\pi}{4}\). En déduire la solution de l'équation : \(\cos ^{2} x=x\).
On calcule les dérivées successives de la fonction \(y=\cos ^{2} x\)
D'après la formule de Taylor :
d'où :
Rappelons que \(x\) est voisin de \(\frac{\pi}{4}\), c'est-à-dire que \(x-\frac{\pi}{4}\) est petit, donc :
Il ne faut surtout pas développer \(\cos ^{2} x\) en puissance de \(x\) car, lors d'une application numérique, on ne saurait plus quels sont les termes négligeables ou non. Par contre en laissant sous cette forme, et en ne gardant que le terme d'ordre 1 , on a :
On sait alors que l'erreur faite sur \(\cos ^{2} x\) est de l'ordre de \(\frac{4}{3!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{3}\).
Application : déterminer la solution de l'équation \(x=\cos ^{2} x\).
La construction de la courbe pour les valeurs remarquables \(x=0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\) montre que la solution de l'équation \(x=\cos ^{2} x\) est proche de \(x=\frac{\pi}{4}\).
Si l'on remplace \(\cos ^{2} x\) par son développement limité au premier ordre, équation devient :
ou \(x \approx \frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}=0,643\) radian ou 36,8 degrés.
Nous avons négligé le terme \(\frac{4}{3!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{3}=-1,9 \cdot 10^{-3}\) radian petit par rapport à
dans le développement limité de \(\cos ^{2} x\). L'approximation était donc valable.
Les différences entre les développements limités de Taylor-McLaurin sont : - Le développement limité de Taylor est valable pour tout point \(a\), tandis que le développement limité de Taylor-Maclaurin est valable uniquement pour \(a=0\). - La forme générale du développement limité de Taylor inclut les termes \(f^{(n)}(a)\), tandis que la forme générale du développement limité de Taylor-Maclaurin exclut ces termes.🥸
4.2. Interprétation graphique
Prenons l'exemple de la fonction \(y=\sin x\) et traçons les courbes relatives aux développements d'ordre \(1,2,3\) :
On constate aisément que, plus on considère de termes dans le développement limité, plus on s'approche du tracé réel de la courbe représentative de la fonction \(\sin x\).
L'alternance des signes + et - entraîne une approche par excès et défauts successifs. On peut constater également que l'approximation n'est valable, comme prévu, qu'au voisinage de l'origine.
4.3. Applications des développements limités
Les développements limités de Taylor-McLaurin sont utilisés dans de nombreux domaines, notamment :
-
Calcul de limites et dérivées
- Lorsqu’on fait des exercices de limite (surtout pour des expressions indéterminées comme \(0/0\) ou \(\infty/\infty\)), le développement limité permet de remplacer une fonction compliquée par les premiers termes de son expansion, beaucoup plus simples à manipuler.
-
Approximation numérique
- En informatique ou en ingénierie, on a souvent besoin de calculer la valeur d’une fonction (ex. exponentielle, sinus, etc.) dans une puce électronique ou un algorithme. Les développements limités fournissent des formules efficaces pour obtenir des approximations rapides que les physiciens adorent 🤗. > Par exemple, pour de petites valeurs de \(x\), on peut écrire \(\sin x \approx x\), \(\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}\), etc.
-
Résolution d’équations
- De nombreuses méthodes numériques s’appuient sur l’idée de linéariser ou d’approximer une fonction pour itérer vers la solution. Les développements limités donnent justement cette linéarisation (ou quadratic approximation).
-
Étude locale des fonctions
- Connaître les premiers termes du développement autour d’un point \(a\) donne des informations sur la courbure de la fonction, ses extrema, son comportement local, etc. > Par exemple, un développement de Taylor aide à voir si une fonction est croissante/décroissante autour d’un point, ou à estimer sa concavité (via la dérivée seconde).
-
Physique et modélisation
- En physique, de nombreuses lois sont trop complexes pour être manipulées sous forme exacte. On fait alors des approximations linéaires (ou plus haut ordre) pour décrire un phénomène autour d’une situation d’équilibre.
> Par exemple, l’approximation harmonique des mouvements autour d’une position d’équilibre est un développement limité au second ordre.
- En physique, de nombreuses lois sont trop complexes pour être manipulées sous forme exacte. On fait alors des approximations linéaires (ou plus haut ordre) pour décrire un phénomène autour d’une situation d’équilibre.
En résumé, les développements limités sont des outils puissants pour simplifier et comprendre le comportement d’une fonction au voisinage d’un point, et ils sont omniprésents dans les méthodes de calcul scientifique, l’analyse de fonctions et de phénomènes réels.
4.3.1. Exemple de calcul de limites
Limite d'un polynôme en \(x\) lorsque \(x \rightarrow 0\) ou \(x \rightarrow \infty\)
Par ailleurs, il n'est pas inutile de rappeler que la limite d'un polynôme en \(x\) lorsque \(x \rightarrow 0\) est égale au terme de plus bas degré en \(x\).
Par exemple : quand \(x \rightarrow 0, y=3 x^{2}+8 x^{5} \sim 3 x^{2}\)
Au contraire, la limite d'un polynôme en \(x\) lorsque \(x \rightarrow \infty\) est égale au terme de plus haut degré en \(x\).
Quand \(x \rightarrow \infty, y=3 x^{2}+8 x^{5} \sim 8 x^{5}\)
Cas de formes indéterminées du type \(0 \times \infty, \frac{\infty}{\infty}\) faisant intervenir des fonctions exponentielle, logarithme et puissance
Étudions la limite de \(y=\frac{\ln x}{x}\) quand \(x \rightarrow+\infty\)
On voit de suite que \(y\) est une fonction indéterminée du type \(\frac{\infty}{\infty}\). Et on sait aussi que, par définition :
Si on pose l'hypothèse \(x>1\), on peut donc avoir :
On a donc démontré que
Limite de \(y=\frac{\ln x}{x^{p}}\) quand \(x \rightarrow+\infty\) pour \(p>0\)
Donc:
\(\frac{\ln x}{x^{p}} \rightarrow 0\) quand $ x rightarrow+infty$ et si \(p>0\)
et la fonction \(x^{p}\) «l'emporte» sur la fonction \(\ln x\) lorsque \(x \rightarrow+\infty\).
C'est la notion de croitre plus rapidement vers l'infini
Limite de \(y=\frac{e^{x}}{x^{n}}\) quand \(x \rightarrow+\infty\) pour \(n>0\).
Nous avons une forme indéterminée du type \(\frac{\infty}{\infty}\). On pose \(z=e^{x}\), d'où \(x=\ln z\) et donc :
et d'après le résultat précédent, quel que soit \(n>0, y\) tend vers \(+\infty\) quand \(x \rightarrow+\infty\).
Donc:
La fonction exponentielle "l'emporte» sur la fonction puissance quand \(x \rightarrow+\infty\).
Limite de \(y=x^{P} \ln x\) quand \(x \rightarrow 0^{+}\)
On a une indétermination du type \(0 \times(-\infty)\) Posons \(z=\frac{1}{x}\) et \(z \rightarrow+\infty\) quand \(x \rightarrow 0^{+}\)
Donc:
La fonction puissance «l'emporte» donc sur la fonction logarithme.
Il résulte de tout ceci un résultat important: dans les formes indéterminéés de la forme \(0 \times \infty, \frac{\infty}{\infty}\) faisant intervenir les fonctions exponentielle, logarithme et puissance, la fonction exponentielle «l'emporte» sur la fonction puissance qui elle-même «l'emporte» sur la fonction logarithme.
Theorem
Remarque : ceci n'est valable que s'il s'agit du logarithme, de l'exponentielle ou de la fonction puissance de la même expression, par exemple : \(\exp (\sqrt{x}+1)>(\sqrt{x}+1)>\ln (\sqrt{x}+1) \quad\) quand \(\quad x \rightarrow+\infty\)
Cas général de limites indéterminée
Il arrive souvent que pour une certaine valeur \(a\) de la variable \(x\) la fonction ne soit pas définie et prenne une forme «indéterminée». Généralement ce sont des formes du type :
Dans ces cas on cherche la limite vers laquelle tend la fonction lorsque \(x\) tend vers \(a\), et on admet que cette limite est la valeur de la fonction en ce point.
Les développements limités permettent dans certains cas de déterminer la limite : on dit souvent qu'on "lève l'indétermination".
Exemple limite de \(\frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{x^{2}}\) lorsque \(x \rightarrow 0\)
Pour \(x=0\) cette expression est de la forme \(\infty-\infty\); développons au voisinage de \(x=0\). Il vient
Finalement, au voisinage de \(x=0\) l'expression considérée prend la valeur :
on écrit alors :
Exemple : limite de \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\) lorsque \(x\) tend vers l'infini
Pour \(x=\infty\) cette expression prend la forme indéterminée \(1^{\infty}\). Soit \(y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\), passons en logarithme, \(\ln y=x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\). Posons \(1 / x=u\) qui tend vers zéro lorsque \(x\) tend vers l'infini, il vient:
donc:
soit :
Tip
Remarque 1 : la recherche des valeurs limites peut être facilitée par les théorèmes suivants
Tip
Remarque 2 : dans la recherche des limites des fractions rationnelles \(f(x) / g(x)\), outre les développements limités, on peut utiliser la «Règle dite de l'Hospital» 🏥:
Si \(f(x)\) et \(g(x)\) sont deux fonctions dérivables, et si \(f(a)=g(a)=0\) ou si \(f(a)=g(a)=\infty\) alors,
Exemple intuitif
Si \(f^{\prime}(a) / g^{\prime}(a)\) est lui-même de la forme \(0 / 0\) ou \(\infty / \infty\) on peut appliquer la règle de l'Hospital une seconde fois, et ainsi de suite tant que les fonctions restent dérivables.
4.3.2. Calculs numériques de valeurs approchées
Lorsqu'on connaît la valeur d'une fonction en un point on peut connaître sa valeur au voisinage de ce point en utilisant son développement limité autour de ce point. Il ne s'agit plus de développements près de l'origine, mais au voisinage d'un point quelconque. Nous utiliserons donc ici des développements appelé de Taylor.
Exemple 1 : calcul de \(\sin 31^{\circ}\) connaissant \(\sin 30^{\circ}=0,5\)
Calculons le premier ordre :
⚠️ En se souvenant que \(\Delta x\) doit être évalué en radians
Au second ordre \(: \sin (x+\Delta x)=\sin x+\Delta x \cos x-\frac{(\Delta x)^{2}}{2!} \sin x\), d'où :
La valeur réelle de sin 31° est 0,51504. On constate que l'accord s'améliore lorsqu'on passe du premier au second ordre, l'écart résiduel étant de l'ordre de 10-5. Ce qui est quand même assez impressionant. 😗
4.4. Applications des développement limités à la physique
Les développements limités sont d'une grande utilité en physique car ils permettent d'analyser finement le comportement d'une fonction d'origine expérimentale ou théorique, au voisinage d'un point correspondant à des propriétés physiques intéressantes. Voyons quelques exemples. 🧐
Exemple : interpolation parabolique
Il arrive souvent en physique que l'on dispose d'une série de mesures représentées par des points \(M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), ..., M_{n}(x_n,y_n)\) dans le plan \(Oxy\) La fonction \(y=f(x)\) étant a prioris inconnue, on peut toujours l'approcher par un polynôme \(P_{n}(x)\) dont les coefficients seront choisis de façon à ce qu'il y ait un bon accord "fit" avec les points experimentaux.
Si l'on se borne au second ordre, on effectue sur trois points ce qu'il est convenu d'appeler une «interpolation parabolique». L'exemple le plus classique est celui de l'échelle du thermomètre à résistance de platine.
Pour décrire les variations de la résistance \(R\) en fonction de la température \(t\) on pose :
les trois coefficients inconnus étant calculés à partir de trois mesures de \(R\) pour trois points fixes correspondant à des températures bien connues.
Fusion de la glace \(\quad t_{0}=0,00\), on mesure directement \(R_{0}\) Ebullition de l'eau \(\quad t_{00}=100,00\), on mesure \(R_{00}\) Ebullition du soufre \(t_{s}=444,60\), on mesure \(R_{s}\)
On détermine facilement \(a\) et \(b\) à l'aide de \(R_{00}\) et \(R_{s}\). L'échelle ainsi définie par interpolation parabolique est pratiquement confondue, à quelques centièmes de degrés près, avec l'échelle du thermomètre à gaz parfait qui sert de référence. Cet excellent accord couvre un large intervalle de température allant de \(0^{\circ} \mathrm{C}\) à \(600^{\circ} \mathrm{C}\).
Exemple : déviation d'un électron dans un champ magnétique
Un autre exemple classique est celui de la déviation d'un faisceau d'électrons par un champ magnétique uniforme normal à la trajectoire initiale est égale à: \((1+X)^{\frac{1}{2}}\)
où \(\rho\) est le rayon de courbure de la trajectoire du faisceau et \(x\) la distance parcourue par l'électron dans la région où règne le champ supposé uniforme.
Cherchons la déviation \(y\) dans le cas où \(\rho \gg R, R\) étant le rayon de la zone où le champ magnétique est constant en direction et en grandeur. Si \(\rho \gg R\) on a aussi \(\rho \gg x\) et \(x / \rho \ll 1\), dans ces conditions on peut écrire :
D'autre part si \(\rho\) est très grand devant \(R\) alors \(x \approx 2 R\), d'où en première approximation :
Cette relation est assez importante sachant que \(y\) se mesure numériquement et \(R\) connu par construction, on peut en déduire la courbure du faisceau. 😎
Exemple : variation de la pesanteur avec l'altitude
Si \(R\) est le rayon terrestre, \(M\) la masse de la terre et \(G\) la constante universell de gravitation. Le poids \(P_{0}\) d'une masse \(m\) placée à la surface de la Terre est donné par la Loi de Newton suivante :
A une certaine altitude \(z\) le poids devient alors :
Avec \(g\) est l'accélération de la pesanteur à l'altitude \(z\) et \(g_{0}\) celle au niveau de la mer, c'est-à-dire pour \(z=0\) (à Marseille pour nous en France).
Si \(z\) est très inférieur à \(R\), alors \(\varepsilon=z / R\) est très petit devant 1 et on écrit en première approximation la relation suivante :
et
On peut donc dire, en première approximation, que lorsqu'on s'élève, la pesanteur diminue proportionnellement à l'altitude 🛫.
Exemple : les limites de la théorie relativiste 👨🔬
En science pour fonder une nouvelle théorie, il faut y inclure les résultats confirmés des théories précédentes, en tant que cas limite ou particulier.
Il en est ainsi de la théorie de la relativité restreinte de Einstein. En effet, on montre que, pour des vitesses très inférieures à celle de la lumière, l'énergie cinétique relativiste \(E_{c r}\) se confond pratiquement avec l'énergie cinétique classique \(E_{c c}\). On a :
où \(c\) est la vitesse de la lumière, \(m_{0}\) la masse au repos (vitesse nulle) et \(m\) la masse à la vitesse \(v\), telle que :
Si \(v \ll c\) alors \((v / c) \ll 1\) et l'on peut écrire :
Ainsi :
Lorsque \(v\) devient petit devant la vitesse de la lumière l'expression relativiste de l'énergie cinétique se confond avec la forme classique. On montre par des procédés analogues qu'il en est de même pour les expressions relativistes et classiques des autres grandeurs dynamiques.
Exemple : le classico classique mouvement du pendule simple
Considérons un pendule simple constitué par une masse \(m\) suspendue au point 0 par un fil non élastique et supposé sans masse de longueur l. La formule fondamentale de la dynamique pour la rotation autour de 0 donne :
où \(\mathcal{M}\) est le moment des forces appliquées. Si l'on admet que le mouvement n'est permis que dans le plan \(O M H\), la seule force appliquée est le poids \(m g\), alors :
le signe - signifiant qu'il s'agit d'un moment de rappel. Le moment d'inertie I du pendule étant égal à \(m l^{2}\), on a :
ou
Cette équation différentielle du second ordre non linéaire n'a pas de solution périodique. En revanche si l'on se limite aux petites oscillations on peut confondre \(\sin \theta\) et \(\theta\) exprimé en radian, puisque
on linéarise l'équation du mouvement, qui devient :
Dans le cadre de l'approximation des petites oscillations, le mouvement du pendule simple est périodique. Cette approximation est d'autant meilleure que \(\theta^{3} / 6\) exprimé en radian est petit devant \(\theta\).
Exemple : potentiel électrique produit à grande distance par une charge \(q\)
Soit une charge q placée à la distance \(\rho\) de l'origine 0 . Calculons le potentiel électrique \(V_{M}\) produit par \(q\) au point \(M\) en fonction de la distance \(O M=r\) et de l'angle \(\theta\). Soit \(R\) la distance de \(M\) à la charge.
Par hypothèse on se place dans les conditions : \(R\gg\rho\), d'où \(r \gg \rho\) et \((\rho / r) \ll 1\).
Le potentiel en \(M\) a pour expression :
Pour l'exprimer à l'aide de \(r\) et de \(\theta\), on remarque qu'on a dans le triangle \(0 q M\) :
ce qui permet d'écrire :
en appliquant cela à \((1 / R)\) il vient :
On a finalement en bornant le développement aux termes d'ordre deux :
Cette relation se généralise sans difficulté s'il y a plusieurs charges \(q_{i}\) \((i=1,2,3, \ldots, n)\) autour de 0 à des distances \(\rho_{i}\), il vient :
Exemple : une approximation harmonique
Dans cette exemple nous allons regarder la formule du modèle de potentiel de Lennard Jones2 ci-dessous :
Cette formule représente l'énergie potentielle d'interaction entre deux atomes dans un gaz rare (néon, krypton, xénon, ...). Où \(r_{0}\) est la distance d'équilibre entre deux atomes voisins.
Nous allons chercher une expression approchée de \(E_{p}(r)\) au voisinage de la position d'équilibre \(r=r_{0}\); pour cela nous allons faire un développement limité de l'expression ci-dessus pour \(r=r_{0}\) en utilisant la formule de Taylor \(F(r)=F\left(r_{0}\right)+F^{\prime}\left(r_{0}\right) \frac{\left(r-r_{0}\right)}{1!}+F^{\prime \prime}\left(r_{0}\right) \frac{\left(r-r_{0}\right)^{2}}{2!}+\cdots+F^{(n)}\left(r_{0}\right) \frac{\left(r-r_{0}\right)^{n}}{n!}+\cdots\) On a respectivement pour les termes de puissance 12 et 6 :
Soit :
Les termes en \(\left(r-r_{0}\right)\) s'éliminent et l'expression initiale s'écrit sous la forme approximative au second ordre :
Nous avons là une approximation de l'énergie potentielle d'interaction au voisinage de la position d'équilibre \(r=r_{0}\). On constate que c'est une fonction parabolique de l'écart ( \(r-r_{0}\) ) à la position d'équilibre. représentant l'énergie potentielle d'interaction de Lennard-Jones par un arc de parabole \((P)\), au voisinage de \(r=r_{0}\).
Il va de soi que cette approximation devient insuffisante si l'on s'écarte trop de l'équilibre 😅.
Cette approximation qui revient à remplacer le potentiel réel par un potentiel quadratique est très importante en Physique.
La force qui dérive d'un potentiel en \(\left(r-r_{0}\right)^{2}\) est une fonction linéaire de l'écart à l'équilibre \(\left(r-r_{0}\right)\) de la forme :
Faire une approximation parabolique sur le potentiel est donc équivalent à faire une approximation qui linéarise la force dans l'équation du mouvement. L'exemple typique est l'approximation qui consiste à confondre \(\sin \theta\) et \(\theta\) (exprimé en radians) dans l'équation du pendule simple.
Annexes
| Fonction | Principe | Développement limité à l'ordre \(n\) |
|---|---|---|
| \((1) \ (1+x)^\alpha\) | Formule de McLaurin | \(1 + \frac{\alpha}{1}x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + \varepsilon x^n\) |
| \((2) \ \frac{1}{1+x}\) | Cas particulier de \((1)\) avec \(\alpha=-1\) | \(1 - x + x^2 + \cdots + (-1)^n x^n + \varepsilon x^n\) |
| \((3) \ \frac{1}{1-x}\) | \((2)\) avec \(x\) changé en \(-x\) | \(1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \varepsilon x^n\) |
| \((4) \ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \((1)\) avec \(\alpha=-1/2\) et \(x\) changé en \(-x^2\) | \(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{3x^4}{2\cdot4} + \cdots + \frac{1\cdot3\cdot5\ldots(2p-1)}{2\cdot4\cdot6\ldots2p}x^{2p} + \varepsilon x^{2p}\) |
| \((5) \ \ln(1+x)\) | Intégration de \((2)\) | \(x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \varepsilon x^n\) |
| \((6) \ \ln(1-x)\) | Intégration de \((3)\) | \(-(x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n}) + \varepsilon x^n\) |
| \((7) \ \ln\frac{1+x}{1-x}\) | Déduction des deux précédents | \(\ln(1+x) - \ln(1-x)\) |
| \((8) \ \mathrm{e}^x\) | Formule de MacLaurin | \(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \varepsilon x^n\) |
| \((9) \ a^x\) | Formule de MacLaurin | \(1 + \frac{\ln a}{1!}x + \frac{(\ln a)^2}{2!}x^2 + \cdots + \frac{(\ln a)^n}{n!}x^n + \varepsilon x^n\) |
| \((10) \ \sin x\) | Formule de MacLaurin | \(x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + \varepsilon x^{2p+2}\) |
| \((11) \ \cos x\) | Formule de MacLaurin | \(1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^p \frac{x^{2p}}{(2p)!} + \varepsilon x^{2p+1}\) |
| \((12) \ \tan x\) | Division de \((10)\) et \((11)\) suivant les puissances croissantes | \(x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \varepsilon x^6\) |
| \((13) \ \arcsin x\) | Intégrer \((4)\) | \(x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2p-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2p)}\frac{x^{2p+1}}{2p+1} + \varepsilon x^{2p+2}\) |
| \((14) \ \arccos x\) | Développé d'après \((13)\) | \(\frac{\pi}{2} - \arcsin x\) |
| \((15) \ \arctan x\) | Développer la dérivée \(\frac{1}{1+x^2}\) d’après \((2)\) et intégrer | \(x - \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{2p+1} + \varepsilon x^{2p+1}\) |
| \((16) \ \sinh x\) | Soustraction des développements de \(\mathrm{e}^x\) et \(\mathrm{e}^{-x}\) | \(x + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + \varepsilon x^{2p+2}\) |
| \((17) \ \cosh x\) | Addition des développements de \(\mathrm{e}^x\) et \(\mathrm{e}^{-x}\) | \(1 + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^{2p}}{(2p)!} + \varepsilon x^{2p+1}\) |
| \((18) \ \tanh x\) | Division de \((16)\) et \((17)\) suivant les puissances croissantes | \(x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \varepsilon x^6\) |
| \((19) \ \text{arsinh } x\) | Développer la dérivée \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) d’après \((1)\) et intégrer | \(x - \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^p \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2p-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2p)}\frac{x^{2p+1}}{2p+1} + \varepsilon x^{2p+2}\) |
| \((20) \ \text{artanh } x\) | Développer la dérivée \(\frac{1}{1-x^2}\) d’après \((3)\) et intégrer | \(x + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{x^{2p+1}}{2p+1} + \varepsilon x^{2p+2}\) |
APPROXIMATIONS USUELLES
Pour \(x \ll 1\) noté \(\varepsilon\) :
| Expression | Approximation |
|---|---|
| \((1 + \varepsilon)^q\) | \(\approx 1 + q\varepsilon\) |
| \(\frac{1}{1+\varepsilon}\) | \(\approx 1 - \varepsilon\) |
| \(\frac{1}{1-\varepsilon}\) | \(\approx 1 + \varepsilon\) |
| \(\sqrt{1+\varepsilon}\) | \(\approx 1 + \frac{\varepsilon}{2}\) |
| \(\sin \varepsilon\) | \(\approx \varepsilon\) |
| \(\cos \varepsilon\) | \(\approx 1 - \frac{\varepsilon^2}{2}\) |
| \(\mathrm{e}^\varepsilon\) | \(\approx 1 + \varepsilon\) |
| \(\ln(1+\varepsilon)\) | \(\approx \varepsilon\) |