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🇫🇷 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS

3. THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS

Le théorème des accroissements finis (en abrégé : TAF) dit que pour toute fonction dérivable d'une variable réelle, son taux d'accroissement entre deux valeurs est réalisable comme pente d'une des tangentes à son graphe1.

Ou, plus formellement, si la fonction \(f(x)\) est continue et dérivable en tout point sur le segment \([a, b]\), il existe au moins un point d'abscisse \(c(a<c<b)\) tel que :

\[ f(b)-f(a)=(b-a) f^{\prime}(c) \]

Graphiquement cela signifie qu'il existe au moins un point \(P\) de l'arc \(\widehat{A B}\) pour lequel la tangente à la courbe est parallèle à la corde \(A B\), car :

\(f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}=\) pente de la courbure \(AB\)

En posant \(a=x\) et \(b=x+\Delta x, c\) sera de la forme:

\[ c=x+\theta \Delta x \quad \text { avec } \quad 0<\theta<1 \]

la formule des accroissements finis s'écrit alors :

\[ f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta x f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \]

  1. Définition de wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_accroissements_finis ↩