🇫🇷 DÉRIVÉE D'UNE FONCTION À UNE VARIABLE

2. DÉRIVÉE D'UNE FONCTION À UNE VARIABLE

Les dérivées sont des outils essentiels pour comprendre comment une quantité varie par rapport à une autre. Elles jouent un rôle fondamental dans des domaines aussi variés que les sciences, l'économie, l'ingénierie et même la médecine.

Prenons un exemple simple : la vitesse d'une voiture. Si vous parcourez une distance \(d\) en fonction du temps \(t\), la dérivée de \(d\) par rapport à \(t\), notée \(v = \frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}t}\), correspond à votre vitesse instantanée. Cela vous permet de savoir à chaque instant à quelle rapidité vous vous déplacez.

Plus largement, les dérivées sont utilisées pour calculer l'accélération, optimiser la consommation de carburant ou encore modéliser les trajectoires dans les systèmes GPS.

Un autre exemple courant est celui de l'économie : si une entreprise vend un produit à un prix \(p\), la dérivée de la fonction de revenus par rapport au prix, notée \(\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}\), aide à déterminer comment de petites variations du prix affectent les revenus. Cela permet aux entreprises de prendre des décisions éclairées sur la tarification.

Petit point historique

L'étude des dérivées remonte aux travaux des mathématiciens du XVIIe siècle, notamment Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, qui ont indépendamment développé la notion de calcul différentiel. Newton cherchait à décrire les lois du mouvement et de la gravitation, tandis que Leibniz s'intéressait à des problèmes plus généraux de variation et de flux 🤓.

Newton a utilisé les dérivées pour formuler ses célèbres lois de la mécanique, en particulier sa deuxième loi, \(F = ma\), où l'accélération \(a\) est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

Leibniz, quant à lui, a introduit la notation moderne des dérivées (\(\mathrm{d}y / \mathrm{d}x\)) et a posé les bases formelles qui sont encore utilisées aujourd'hui.

Pourquoi les dérivées sont-elles importantes ?

Les dérivées permettent non seulement de comprendre les changements instantanés, mais aussi d'optimiser des systèmes complexes. Par exemple :
- En médecine, elles sont utilisées pour modéliser la propagation des maladies ou pour optimiser les doses de médicaments.
- En ingénierie, elles aident à analyser la résistance des matériaux ou à concevoir des systèmes dynamiques comme les avions ou les robots.
- En économie, elles sont indispensables pour prévoir les tendances du marché ou analyser les coûts marginaux. - Elles sont au centre des nouvelles méthodes d'intelligence artificielle 🤖

Les dérivées sont bien plus qu’un concept mathématique; elles sont un langage universel pour décrire le changement, que ce soit dans la nature, les machines ou les activités humaines.

Leur découverte a marqué un tournant dans l’histoire des sciences, en ouvrant la voie à des avancées technologiques et scientifiques majeures.

2.1. Définition

Considérons une fonction \( y = f(x) \), définie et continue dans un voisinage du point d'abscisse \( x = x_0 \). Si on fait varier \( x \) en lui ajoutant un accroissement \(\Delta x\) (qui peut être positif ou négatif) à partir de \( x_0 \), la valeur de \( y \) subira un changement correspondant.

Définition

La dérivée de la fonction \( f(x) \) en \( x_0 \), notée \( f'(x_0) \), est définie comme la limite, si elle existe, du rapport \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) lorsque \(\Delta x\) tend vers zéro. Formellement, cela s’écrit :
$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Exemple 1 : Calcul de la dérivée de \( y = x^2 \)

Pour \( f(x) = x^2 \) :
1. \( f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 \).
2. La variation de la fonction est donnée par \( f(x + \Delta x) - f(x) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 \).

Le taux de variation s’écrit alors :
$$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x.$$

En prenant la limite lorsque \(\Delta x \to 0\), on obtient :
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x.$$

Ainsi, la dérivée de \( y = x^2 \) est \( f'(x) = 2x \).

Exemple 2 : calcul de la dérivée de \(y=\sin x\)

\[ \begin{aligned} & f(x)=\sin x \\ & f(x+\Delta x)=\sin (x+\Delta x) \\ & f(x+\Delta x)-f(x)=\sin (x+\Delta x)-\sin x=2 \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \sin \left(\frac{\Delta x}{2}\right) \\ & y^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \frac{\sin (\Delta x / 2)}{(\Delta x / 2)}=\cos x \end{aligned} \]

car le rapport \(\sin (\Delta x / 2) /(\Delta x / 2)\) tend vers 1 lorsque \(\Delta x \rightarrow 0\). Ceci n'est vrai que si \(\Delta x\) est exprimé en radians. Il faudra s'en souvenir notamment au chapitre des développements limités 👀.

Les fonctions sinus et cosinus possèdent des propriétés particulières qui les rendent omniprésentes en mathématiques et en physique. Pas de panique nous reviendrons en détail sur ces fonctions plus tard 😙!

2.2. Intreprétation géométrique de la dérivée

Considérons le graphe de la fonction \( y = f(x) \) et désignons par \( M \) et \( N \) les points d'abscisses \( x_0 \) et \( x_0 + \Delta x \), respectivement. On observe que :

• \( \Delta x = MP \)
• \( \Delta y = PN \)

De plus, le rapport \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) correspond à la tangente de l'angle \( \beta \) :

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan \beta \]

Lorsque \( \Delta x \) tend vers zéro, le point \( N \) se rapproche de \( M \), la sécante \( (S) \) converge vers la tangente \( (T) \) à la courbe au point \( M \), et l'angle \( \beta \) tend vers \( \alpha \).

Ainsi, la dérivée de la fonction \( f(x) \) au point d'abscisse \( x = x_0 \) est numériquement égale à la pente de la tangente à la courbe au point \( (x_0, y_0) \) :

\[ f'(x_0) = \tan \alpha \]

Nous utiliserons de temps en temps la notation \(tg\) pour désigner la tangente d'un angle, équivalente à \(tan\).

Manim illustration

2.3. Calcul de dérivées

Maintenant que nous avons compris l'idée de dérivation de fonction il faut savoir les calculer !

2.3.1. Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient

\(U(x)\) et \(V(x)\) étant toutes deux fonctions dérivables, on démontre en utilisant la définition même de la dérivée que :

Définition

\[ \begin{aligned} & {[U(x)+V(x)]^{\prime}=U^{\prime}(x)+V^{\prime}(x)} \\ & {[U(x) \cdot V(x)]^{\prime}=U^{\prime}(x) \cdot V(x)+U(x) \cdot V^{\prime}(x)} \\ & {\left[\frac{U(x)}{V(x)}\right]^{\prime}=\frac{U^{\prime}(x) \cdot V(x)-\dot{U}(x) \cdot V^{\prime}(x)}{V^{2}(x)}} \end{aligned} \]

Example

\[ y=4 x^{3}+6 x+2 \quad y^{\prime}=12 x^{2}+6 \]

Example

\[ y=x^{2}\left(x^{3}-1\right)^{2} \quad y^{\prime}=2 x\left(x^{3}-1\right)^{2}+6 x^{4}\left(x^{3}-1\right) \]

Example

\[ y=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \quad y^{\prime}=-\frac{4 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} \]

2.3.2. Dérivée d'une fonction composée

Considérons une fonction \( y = f(U) \), définie et continue (sa dérivée existe), où \( U \) est elle-même une fonction de la variable \( x \), soit \( U(x) \).

Lorsque \( x \) subit un accroissement \( \Delta x \), la fonction \( U(x) \) subit un accroissement \( \Delta U \), et la fonction \( y = f(U) \) subit un accroissement \( \Delta y \).

Lorsque \( \Delta x \) tend vers zéro, \( \Delta U \) et \( \Delta y \) tendent également vers zéro. On peut donc écrire :

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta U} \cdot \frac{\Delta U}{\Delta x} \]

En prenant la limite lorsque \( \Delta x \to 0 \), on obtient :

\[ \lim _{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \left[\lim _{\Delta U \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta U}\right] \cdot \left[\lim _{\Delta x \to 0} \frac{\Delta U}{\Delta x}\right] \]

Pour mieux visualiser ces notions de fonction composée, on peut illustrer cela en considérant la fabrication de pizza à l'ananas 🍕.

Illustration de 9gag : la composition peut s'appliquer à tous les domaines !

Dans cette relation, la première partie du produit représente la dérivée de \( y \) par rapport à \( U \), où \( U \) est traité comme une variable indépendante. Cela se note \( y_U^\prime \).

La deuxième partie correspond à la dérivée de \( U \) par rapport à \( x \), notée \( U_x^\prime \). En combinant ces deux termes, on obtient :

\[ y_x^\prime = y_U^\prime \cdot U_x^\prime \]

Cette formule est facilement généralisable et s’avère très utile pour calculer les dérivées de fonctions complexes par un changement de variable.

Exemple 1: \(y=A \sin (\omega x+\varphi)\)

Posons \(\omega x+\varphi=U\), on a immédiatement \(\left\{\begin{array}{l}U_{x}^{\prime}=\omega \\ y_{U}^{\prime}=A \cos U\end{array}\right.\) d'où :

\[ y^{\prime}=A \omega \cos (\omega x+\varphi) \]

Exemple 2 \(y=\operatorname{tg}\left(1+x^{2}\right)\)

\[ \text { Posons } 1+x^{2}=U \text {, on a immédiatement }\left\{\begin{array}{l} U_{x}^{\prime}=2 x \\ y_{U}^{\prime}=1+\operatorname{tg}^{2} U \end{array}\right. \]

et donc :

\[ y^{\prime}=2 x\left[1+\operatorname{tg}^{2}\left(1+x^{2}\right)\right] \]

2.4. Dérivées d'ordres supérieurs

La dérivée \(y^{\prime}\) d'une fonction \(y=\int(x)\) peut être encore une fonction de \(x\), on peut alors la dériver et obtenir :

\(u^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)=\mathrm{d}^{2} y / \mathrm{d} x^{2}\)

c'est la dérivée seconde de \(y\).

Meme de pinimg (https://i.pinimg.com/736x/a9/9e/15/a99e1502daefb9be99d305ad7a31496d.jpg)

Ainsi tant que la fonction obtenue est continue (reste dérivable), on peut continuer le processus de dérivation. On obtient de proche en proche les dérivées successives de \(y\) :

Property

\[ \begin{aligned} & y=f(x) \\ & y''=y^{(2)}=\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} \\ & y^{(3)}=\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}} \\ & ... \\ & y^{(n)}=\frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{~d} x^{n}} \end{aligned} \]

Il sera compliqué ici d`illustrer le \(n^{ième}\) processus de dérivation à l'aide d'un meme gastronomique mais je pense que vous avez l'idée 🤗.

2.5. Tableau des dérivées usuelles

Passons maintenant à la partie la moins "glamour" si on peut dire cela comme ça... Le par coeur. En effet, pour progresser dans les mathématiques, on doit de temps en temps retenir des formules ou des concepts par coeur.

Cependant, il est important de ne pas confondre le part coeur et la compréhension véritable d'un sujet.

Function	Dérivée
\(y = a\)	\(y' = 0\)
\(y = ax\)	\(y' = a\)
\(y = x^m\)	\(y' = mx^{m-1}\)
\(y = U(x)^m\)	\(y' = mU(x)^{m-1}U'(x)\)
\(y = \frac{1}{x}\)	\(y' = -\frac{1}{x^2}\)
\(y = \frac{1}{U(x)}\)	\(y' = -\frac{U'(x)}{U(x)^2}\)
\(y = \sqrt{x}\)	\(y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(y = \sqrt[m]{U(x)}\)	\(y' = \frac{U'(x)}{m\sqrt[m]{U(x)^{m-1}}}\)
\(y = \sin x\)	\(y' = \cos x\)
\(y = \sin U(x)\)	\(y' = U'(x) \cos U(x)\)
\(y = \cos x\)	\(y' = -\sin x\)
\(y = \cos U(x)\)	\(y' = -U'(x) \sin U(x)\)
\(y = \tan x\)	\(y' = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)
\(y = \tan U(x)\)	\(y' = U'(x)(1 + \tan^2 U(x)) = U'(x)\frac{1}{\cos^2 U(x)}\)
\(y = \cot x\)	\(y' = -1 - \cot^2 x\)
\(y = \cot U(x)\)	\(y' = -U'(x)(1 + \cot^2 U(x)) = -U'(x)\frac{1}{\sin^2 U(x)}\)
\(y = a^x\)	\(y' = a^x \ln a\)
\(y = a^{U(x)}\)	\(y' = a^{U(x)}U'(x) \ln a\)
\(y = e^x\)	\(y' = e^x\)
\(y = e^{U(x)}\)	\(y' = e^{U(x)}U'(x)\)
\(y = \ln x\)	\(y' = \frac{1}{x}\)
\(y = \ln U(x)\)	\(y' = \frac{U'(x)}{U(x)}\) (dérivée logarithmique)
\(y = \log x\)	\(y' = \frac{1}{x \ln 10}\)
\(y = \log U(x)\)	\(y' = \frac{U'(x)}{U(x)\ln 10}\)
\(y = \sinh x\)	\(y' = \cosh x\)
\(y = \sinh U(x)\)	\(y' = U'(x)\cosh U(x)\)
\(y = \cosh x\)	\(y' = \sinh x\)
\(y = \cosh U(x)\)	\(y' = U'(x)\sinh U(x)\)
\(y = \tanh x\)	\(y' = \frac{1}{\cosh^2 x}\)
\(y = \tanh U(x)\)	\(y' = \frac{U'(x)}{\cosh^2 U(x)}\)
\(y = \mathrm{Arcsin} x\)	\(y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
\(y = \mathrm{Arccos} x\)	\(y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
\(y = \mathrm{Arctan} x\)	\(y' = \frac{1}{1 + x^2}\)
\(y = \mathrm{Arcsin} U(x)\)	\(y' = \frac{U'(x)}{\sqrt{1 - U(x)^2}}\)
\(y = \mathrm{Arccos} U(x)\)	\(y' = -\frac{U'(x)}{\sqrt{1 - U(x)^2}}\)
\(y = \mathrm{Arctan} U(x)\)	\(y' = \frac{U'(x)}{1 + U(x)^2}\)

Dans ce tableau " \(a\) " est une constante non nulle, \(U(x)\) une fonction a priori quelconque de \(x\) et toujours dérivable dans le domaine considéré évidemment 😎.

Gardez en tête que vous ne croiserez pas toutes ces fonctions tous les jours, notamment les fonctions Arcsin/cos, cosh/sinh...

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2.6. Les propriétés importantes de la dérivée

Propriété

Lorsqu'une fonction est croissante sur un intervalle donné, sa dérivée est toujours positive ou nulle, et la réciproque est également vraie.

Supposons que \( x \) subisse un accroissement \( \Delta x \), qu’il soit positif ou négatif, et considérons le rapport classique :

\[ R(x, \Delta x) = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

Si la fonction \( f(x) \) est croissante, alors :

Cas	Condition	Conséquence
\( \Delta x > 0 \)	\( f(x+\Delta x) > f(x) \)	\( R(x, \Delta x) > 0 \)
\( \Delta x < 0 \)	\( f(x+\Delta x) < f(x) \)	\( R(x, \Delta x) > 0 \)

Ainsi :

\[ y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} > 0 \]

Sur le graphe, la tangente en \( M \) à la courbe sera toujours au-dessus de l'horizontale passant par \( M \), avec un angle \( \alpha \) positif (mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).

Propriété

La démonstration est similaire au cas précédent. Si la fonction est décroissante, la tangente en \( M \) se situera sous l’horizontale passant par \( M \), et l’angle \( \alpha \) sera négatif. La dérivée change de signe lorsque la fonction change de comportement, c’est-à-dire lorsqu’elle passe par un extremum, ce qui donne :

$$y'(x) = 0 : \text{la fonction atteint un maximum ou un minimum.}$$

Les tangentes aux points extrémaux des graphes sont horizontales : la pente et la dérivée sont nulles en ces points.

Enfin, si la courbe change de concavité (de positive à négative ou inversement) au point \( x_0 \), alors la dérivée \( y' \) passe par un extremum, et la dérivée seconde \( y'' \) s’annule en \( x_0 \). Ce point est appelé point d’inflexion.

Propriété

Lorsque qu'une fonction est décroissante sur un intervalle donné, sa dérivée est toujours négative ou nulle et réciproquement.

La démonstration est identique à la précédente. Sur le graphe de la fonction, la tangente en \(M\) à la courbe sera située au-dessous de l'horizontale passant par \(M\) et l'angle \(\alpha\) est négatif.

La dérivée change donc de signe lorsque la fonction change d'allure. C'est-à-dire lorsqu'elle passe par un extremum d'où :

Propriété

Lorsqu'une fonction passe par un extremum (maximum ou minimum) sa derivée s'annule. \(\Leftrightarrow y^{\prime}(x)=0\)

On constate sur les graphes que les tangentes, aux points où les fonctions sont extrémales, sont horizontales ; les pentes sont nulles ainsi que les dérivées en ces points.

Sur le graphique de gauche on voit une fonction convexe avec un minimum \(x_{MIN}\) Au contraire sur le graphique de droite la fonction est concave avec un maximum \(x_{MAX}\)

2.6.1. Concavité et inflexion

Soit \(y=f(x)\) une fonction croissante dans l'intervalle \(A B\); sa dérivée première \(y^{\prime}\) est donc positive. Si la courbe représentant les variations de \(f(x)\) dans le domaine \(A B\) a sa concavité tournée vers les \(y\) positifs (Fig. cicontre) la pente va en augmentant quand on va de \(A\) vers \(B\), c'est-à-dire que la dérivée \(f^{\prime}(x)\) est elle-même une fonction croissante, donc que la dérivée seconde \(y^{\prime \prime}=f^{\prime \prime}(x)\) est positive.

Si , au contraire, la courbe a sa concavité tournée vers les \(y\) négatifs, la pente tout en restant positive va en diminuant lorsqu'on va de \(A\) vers \(B\), autrement dit la dérivée \(f^{\prime}(x)\) est une fonction décroissante dans l'intervalle \(A B\), donc \(y^{\prime \prime}\) est négative dans ce domaine.

Enfin, si la courbe présente d'abord une concavité positive puis, à partir de \(x=x_{0}\) une concavité négative, la dérivée \(y^{\prime}\) d'abord croissante devient décroissante et donc passe forcément par un extremum, c'est-à-dire que la dérivée seconde \(y^{\prime \prime}\) s'annule pour \(x=x_{0}\). Le point où ce changement de concavité se produit est appelé "point d'inflexion".

Example

Exemple de la fonction : \(x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)

Considérons la fonction \(x^3 - 6x^2 + 9x + 2\) et traçons sa courbe pour mieux comprendre.

Comme vous pouvez le voir, cette fonction présente deux concavités.

Calculons sa dérivée
$$f'(x) \;=\; \frac{d}{dx}\Bigl(x^3 - 6x^2 + 9x + 2\Bigr) \;=\; 3x^2 \;-\; 12x \;+\; 9$$

La dérivée est représenté en noir sur le graphique ci-dessus 📈

Factorisons pour plus de style et pour voir clairement les zéros 🥸 $$f'(x) \;=\; 3x^2 - 12x + 9 \;=\; 3\bigl(x^2 - 4x + 3\bigr) \;=\; 3\bigl(x - 1\bigr)\bigl(x - 3\bigr)$$

Les points critiques (où \(f'(x)=0\)) de notre fonction sont donc \(x=1\) et \(x=3\).

Étude du signe de \(f'(x)\) et du sens de variation

On va maintenant étudier le signe de la dérivée \(f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)\) sur les intervalles délimités par les points critiques \(x=1\) et \(x=3\).

1. Intervalle \(]-\infty, 1[\)

   • Prenons par exemple un \(x<1\), disons \(x=0\) :
     \((0 - 1)<0\) et \((0 - 3)<0\) \(\implies\) le produit \((x-1)(x-3)\) est positif. Ainsi, \(f'(x)>0\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty, 1)\).

2. Intervalle \(]1, 3[\)

   • Pour \(1<x<3\), par exemple \(x=2\) :
     \((2 - 1)>0\) et \((2 - 3)<0\) \(\implies\) le produit \((x-1)(x-3)\) est négatif : \(f\) est décroissante sur \(]1, 3[\).

3. Intervalle \(]3, +\infty]\)

   • Pour \(x>3\), disons \(x=4\) :
     \((4 - 1)>0\) et \((4 - 3)>0\) \(\implies\) le produit \((x-1)(x-3)\) est positif : \(f\) est croissante sur \(]3, +\infty[\).

Voyons ce qu'il se passe autour de ces points 🧐

• \(f'\) passe de positif sur \(]-\infty,1[\) à négatif sur \([1,3]\). Donc la fonction est croissante avant \(x=1\) et décroissante après \(x=1\).

  Conclusion : \(x=1\) est un maximum local.

• \(f'\) passe de négatif sur \(]1,3[\) à positif sur \(]3,+\infty[\).

  Conclusion : \(x=3\) est un minimum local.

Le point \(x = 2\) joue un rôle particulier dans l’étude de la concavité et correspond au point d’inflexion de la courbe. Car la dérivée seconde : \(f''(x) \;=\; 6x - 12\)

On a donc \(f''(x) = 0\) quand \(6x - 12 = 0\), c’est-à-dire lorsque \(x = 2\).

• Pour \(x < 2\) : \(6x - 12 < 0\) \(\implies\) \(f''(x) < 0\). La courbe est donc concave vers le bas.
• Pour \(x > 2\) : \(6x - 12 > 0\) \(\implies\) \(f''(x) > 0\). La courbe est donc concave vers le haut.

Comme le signe de \(f''(x)\) change en passant par \(x=2\), on a donc un point d’inflexion de coordonnées \(\bigl(2, \, 4\bigr)\).

Méthode

En conclusion si l'étude du signe de la dérivée première nous donne des informations sur les variations, croissance, décroissance, passage par des extrema de la fonction, l'étude du signe de la dérivée seconde nous fournit des informations sur la concavité de la courbe représentant la fonction et sur la présence d'éventuels points d'inflexion.

2.7. Applications des dérivées

Comme énoncé dans l'introduction du chapitre, le concept de dérivée est central en mathématiques et possède une histoire riche, étroitement liée au développement du calcul infinitésimal.

Jeretiens

En résumé, la dérivée est un outil mathématique fondamental, issu d'une longue évolution historique, et trouve des applications essentielles dans de nombreux domaines scientifiques et techniques.

2.7.1. Tracés des courbes

Nous venons de voir que l'étude des signes des dérivées première et seconde donnait des précieuses informations sur le comportement de la fonction et donc sur l'allure de sa courbe représentative. 🥸

2.7.2. Angle d'intersection de deux courbes

Considérons deux courbes \(C_{1}\) et \(C_{2}\) représentant respectivement les fonctions \(f_{1}(x)\) et \(f_{2}(x)\), se coupant au point \(M\) de coordonnées ( \(x_{0}, y_{0}\) ). L'angle d'intersection de ces deux courbes est l'angle \(\varphi\) formé par les tangentes au point d'intersection, soit :

\[ \varphi=\Psi_{2}-\Psi_{1}! \]

Au point \(M\) on a :

\[ \operatorname{tg} \Psi_{1}=f_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right) \quad \text { et } \quad \operatorname{tg} \Psi_{2}=f_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right) \]

l'angle \(\varphi\) est donc tel que :

\[\operatorname{tg} \varphi=\frac{\operatorname{tg} \Psi_{2}-\operatorname{tg} \Psi_{1}}{1+\operatorname{tg} \Psi_{1} \operatorname{tg} \Psi_{2}}=\frac{f_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right)-f_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1+f_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right) f_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right)}\]

Example

Trouvons l'angle d'intersection entre un cercle et une parabole

Essayons ici de trouver l'angle d'intersection entre le cercle d'équation \(x^{2}+y^{2}=2\) et la parabole \(y=x^{2}\).

En remplaçant \(y\) par \(x^{2}\) dans l'équation du cercle on trouve immédiatement les coordonnées des points d'intersection, soit :

\[ 0_{2}(+1,+1) \quad \text { et } \quad 0_{1}(-1,+1) \]

\[ \left.\begin{array}{l} f_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{-x_{0}}{2 \sqrt{2-x_{0}^{2}}}=-1 \\ f_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right)=2 x_{0}=2 \end{array}\right\} \quad \text { d'où } \quad \operatorname{tg} \varphi=-3 \quad \text { et } \quad \varphi=\pi-71^{\circ} 6 \]

2.7.3. Transformation de Legendre

Soit une fonction \(y=f(x)\) définie et continue sur un intervalle donné. La courbe représentative \(\mathcal{C}\) de cette fonction peut être aussi considérée comme l'enveloppe d'un faisceau de droites \(\mathcal{D}\) définies comme l'ensemble des tangentes à la courbe \(\mathcal{C}\). Le rapport entre ces deux représentations est appelé «dualité». La transformation qui fait passer d'une représentation à l'autre est la «Transformation de Legendre». Nous verrons plus loin (chap. 4, § 4.5.3) qu'elle est très utile en thermodynamique.

L'équation d'une droite \(\mathcal{D}\) dépend de deux paramètres : la pente " \(p\) » et l'ordonnée à l'origine « \(q\) ». Elle s'écrit :

\[ y=p x+q \]

où \(p\) et \(q\) peuvent être considérés comme des données paramétriques liées au point considéré \(M(x, y)\) de la courbe \(\mathcal{C}\).

Par définition, la fonction \(f(x)\) étant continûment dérivable, la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) en \(M(x, y)\) a pour pente \(p=\mathrm{d} f(x) / \mathrm{d} x\) d'où \(q=f(x)-x \mathrm{~d} f(x) / \mathrm{d} x\).

La représentation \(y=p x+q\) donne donc l'ensemble des droites tangentes à la courbe \(\mathcal{C}\) en fonction d'un seul paramètre l'abscisse \(x\) du point de tangence. Réciproquement il doit être possible de passer de cet ensemble de droites à l'équation de la courbe \(\mathcal{C}\). Autrement dit \(q\) doit être une fonction de \(p\). L'équation de la droite \(\mathcal{D}_{p}\) a pour expression:

\[ y=p x+q(p) \]

Pour obtenir le point sur \(\mathcal{C}\), il faut prendre l'intersection entre la droite \(\mathcal{D}_{p}\) et sa voisine \(\mathcal{D}_{p+\mathrm{d} p}\). C'est la définition d'une enveloppe et cela implique la propriété de dualité de la transformation considérée :

\[ y=(p+\mathrm{d} p) x+q(p)+\frac{\mathrm{d} q(p)}{\mathrm{d} p} \mathrm{~d} p \]

Si les équations de ces deux droites sont simultanément satisfaites, alors :

\[ x \mathrm{~d} p+\frac{\mathrm{d} q(p)}{\mathrm{d} p} \mathrm{~d} p \equiv 0 \]

et si cette relation est satisfaite quel que soit \(\mathrm{d} p\), les droites voisines passent par le même point \(M\) dont les coordonnées sont:

\[ x=-\frac{\mathrm{d} p(p)}{\mathrm{d} p} \quad \text { et } \quad y=-p \frac{\mathrm{~d} q(p)}{\mathrm{d} p}+q(p) \]

Nous avons donc obtenu une représentation paramétrique de la courbe \(\mathcal{C}\). Le passage réciproque entre les deux représentations est assuré.

2.7.4. Problèmes de recherche des maxima et minima

Les problèmes de recherche des maxima et minima sont fondamentaux dans les mathématiques moderne notamment dans l'optimisation et l'analyse de données.

Ces recherches d'optimum (maxima ou minima) permettent d'identifier les valeurs optimales dans un système ou une relation, de prendre des décisions éclairées, de prédire les tendances, de modéliser les systèmes physiques, etc.

Il existe plusieurs méthodes pour rechercher les minima et maxima de fonctions, chacune avec ses propres avantages et inconvénients, nous y reviendrons par la suite 🥸.

Exemple 1 : problème de la casserole

Une casserole a un volume V donné et une hauteur égale à son rayon \(R\). Un directeur d'usine souhaiterait minimiser la surface \(S\) de la casserole pour économiser son métal. Notre mission est donc de trouver la relation entre le volume \(V\) et le rayon \(R\) qui minimise la surface \(S\) d'une casserole.

Équations du volume et de la surface

\[ \begin{equation} \begin{cases} V = \pi R^2h \\ S = \pi R^2 + 2\pi Rh \\ \end{cases} \end{equation} \]

où \(R\) est le rayon de la casserole et \(h\) est sa hauteur.

La surface S est composée de deux parties : la partie supérieure (la face circulaire) et la partie inférieure (le fond). Où \(\pi R^2\) représente la superficie de la face circulaire et \(2\pi Rh\) représente la longueur du fond.

Recherche du minimum

Pour minimiser notre surface S nous devons trouver le point où la dérivée de S par rapport à R est nulle :

\[S'(R) = 0\]

On peut calculer la dérivée de S en utilisant la règle de la chaîne :

\(\(S'(R) = \frac{d(\pi R^2)}{dR} + \frac{d(2\pi Rh)}{dR}\)\) = \(2\pi R - 2\pi Rh/dR\) = \(2\pi R - 2V/R^2\)

Nous pouvons dire que \(V = \pi R^3\). Or nous savons que \(V=\pi R^2h\) donc \(R=h\)

Exemple 2 : la réfraction de la lumière

On se propose de déduire du principe de Fermat l'une des lois de Descartes relative à la réfraction de la lumière.

Lorsque la lumière passe d'un milieu où sa vitesse de propagation est \(V_{1}\) à un milieu où elle est égale à \(V_{2}\), il y a réfraction et en vertu du Principe de Fermat, la lumière doit mettre un temps minimal pour aller du point \(M\) (dans le milieu 1) au point \(N\) (dans le milieu 2).

Sur la figure ci-contre, on a :

\[ M M_{1}=a, \quad N M_{2}=b, \quad M_{1} M_{2}=d \]

Prenons comme variable \(O M_{1}=x\), et évaluons le temps mis par la lumière pour aller de \(M\) à \(N\). Le temps nécessaire au parcours \(M O\) dans le milieu 1 est :

\[ v=\frac{d}{x} \Rightarrow \quad T_{1}=\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{V_{1}} \]

tandis que le temps nécessaire pour parcourir \(O N\) est :

\[ T_{2}=\frac{\sqrt{b^{2}+(d-x)^{2}}}{V_{2}} \]

le temps total mis pour aller de \(M\) à \(N\) est donc :

\[ T=T_{1}+T_{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{V_{1}}+\frac{\sqrt{b^{2}+(d-x)^{2}}}{V_{2}}=T(x) \]

la condition nécessaire et suffisante pour que ce temps soit minimal est \(\Rightarrow \frac{\partial T}{\partial x}=0\) soit finalement :

\[ \begin{gathered} T^{\prime}(x)=\frac{2 x}{2 V_{1} \sqrt{a^{2}+x^{2}}}-\frac{2(d-x)}{2 V_{2} \underbrace{O^{2}}_{b^{2}+(d-x)^{2}}}=0 \\ \frac{x}{V_{1} O M}=\frac{d-x}{V_{2} O N} \end{gathered} \]

or sur la figure on remarque que \(x=O M \sin i_{1}\) et \(d-x=O N \sin i_{2}\) d'où :

\[ \frac{\sin i_{1}}{V_{1}}=\frac{\sin i_{2}}{V_{2}} \]

Il est donc possible de déduire les lois de Descartes, d'origine expérimentale, du principe de Fermat. C'est là une conséquence de ce principe, qui est ainsi justifié.