🇫🇷 FONCTION D'UNE VARIABLE

1. FONCTION D'UNE VARIABLE

L'étude des relations entre différentes quantités a une longue histoire, remontant à l'Antiquité, où des mathématiciens comme Euclide ou Pythagore cherchaient à comprendre les liens entre les nombres et les formes géométriques. Cependant, ce n'est qu'au XVIIe siècle, avec des penseurs comme René Descartes et Pierre de Fermat, que l'idée de représenter des relations mathématiques sous forme de fonctions a pris un sens moderne. ¹

Définition

Une fonction mathématique peut être vue comme un "processus" qui transforme une valeur d’entrée $x$ (input) en une valeur de sortie $y$ (output) selon une règle bien définie.

Ce concept repose sur trois éléments principaux :

Entrée ($x$) :
C’est la valeur initiale que l’on fournit. Par exemple, on peut prendre $x = 2$ comme point de départ.
Règle de transformation ($f(x)$) :
La fonction applique une opération à l’entrée pour produire une sortie. Par exemple, si la règle est $f(x) = x^2$, on élève $2$ au carré.
Sortie ($y$) :
Après application de la règle, on obtient une valeur unique. Dans notre exemple, $2^2 = 4$, donc la sortie est $y = 4$.

Définition

En notation mathématique, on écrit cette relation ainsi :
$y = f(x)$ Cela signifie que $y$, la sortie, dépend de $x$, l’entrée, à travers la règle $f(x)$.

Exemple

Si la fonction est définie par $f(x) = 2x + 1$, voici comment elle fonctionne :
- Pour une entrée $x = 3$, on calcule $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$
- La valeur de sortie correspond donc à $y = 7$

Exemple 1 : la taxation dans une société médiévale 🏰

Réfléchissons à la taxation dans une société médiévale 🏰. Imaginez qu'un souverain impose une taxe proportionnelle à la richesse d'une personne. Si une personne possède une richesse $ r $, la taxe qu'elle doit payer peut être exprimée par une relation simple :

\[ T = k \cdot r \]

où $ k $ est le taux d'imposition. Si la richesse d'une personne varie, le montant de la taxe qu'elle doit payer change également. On dit alors que la taxe $ T $ est une fonction de la richesse $ r $, que l'on note ainsi :

\[ T = f(r) \quad \text{ou encore} \quad T(r) \]

De manière plus générale, nous dirons que $ y $ est une fonction de la variable $ x $ si, à chaque valeur de $ x $, correspond une valeur de $ y $. Cette relation est notée $ y = f(x) $. L'ensemble des valeurs possibles de $ x $, pour lesquelles $ y = f(x) $ existe, est appelé le domaine ou l'intervalle de définition de la fonction.

Exemple 2 : la Loi de Coulomb

L'étude des phénomènes naturels nous amène souvent à considérer les variations d'une grandeur physique en fonction des variations d'une autre grandeur physique. Ainsi la force qui s'exerce entre deux charges électriques $q$ et $q^{\prime}$ est reliée à la distance $r$ les séparant par la Loi de Coulomb² :

\[ F=k \frac{q q^{\prime}}{r^{2}} \]

Si la distance varie, la force prend des valeurs différentes. On dit que la force est une fonction de la distance et on la note tel que :

$F=f(r) \quad$ ou encore $\quad F(r)$

Définition

Plus généralement nous dirons que $y$ est une fonction de la variable $x$ et nous écrirons $y=f(x)$ si, à chaque valeur de $x$, correspond une valeur de $y$.

L'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $y=f(x)$ existe est appelé «domaine » ou « intervalle » de définition de la fonction. Nous y reviendrons plus tard 🤓

Définiton de wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_(mathématiques) ↩
La loi de Coulomb exprime, en électrostatique, la force de l'interaction électrique entre deux particules chargées électriquement. Elle est nommée d'après le physicien français Charles-Augustin Coulomb qui l'a énoncée en 1785 et elle forme la base de l'électrostatique. Plus de détail sur Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Coulomb_(électrostatique) ↩